Problema sulla posizione di una retta rispetto ad un piano..
Salve a tutti!
Mi sono imbattuto in un esercizio di esame che non riesco proprio a risolvere.
Testo esercizio: Data la retta r di equazione cartesiana: { $5x-2y-2kz=0$ , $3x+2ky+2z=k-3$;
si determini
1) la sua posizione rispetto al piano PiGreca:$x-2y-2z=0$ al variare di k ( con k appartenente all'insieme dei numeri Reali);
2) posto k=-1 la sua posizione rispetto alla retta s di equazioni parametriche $x=6t-4$, $y=3t+2$, $z=t-1$;
3) il piano per l'origine parallelo ad r ed s.
Qualcuno mi potrebbe dare una mano? anche solo spiegandomi il procedimento per la risoluzione.
Grazie in anticipo
Mi sono imbattuto in un esercizio di esame che non riesco proprio a risolvere.
Testo esercizio: Data la retta r di equazione cartesiana: { $5x-2y-2kz=0$ , $3x+2ky+2z=k-3$;
si determini
1) la sua posizione rispetto al piano PiGreca:$x-2y-2z=0$ al variare di k ( con k appartenente all'insieme dei numeri Reali);
2) posto k=-1 la sua posizione rispetto alla retta s di equazioni parametriche $x=6t-4$, $y=3t+2$, $z=t-1$;
3) il piano per l'origine parallelo ad r ed s.
Qualcuno mi potrebbe dare una mano? anche solo spiegandomi il procedimento per la risoluzione.
Grazie in anticipo
Risposte
Cosa esattamente non capisci? Mi sembra una applicazione diretta delle formule... C'è un punto dove ti blocchi? I primi due punti li sai fare?
"zoso89":
Testo esercizio: Data la retta r di equazione cartesiana: { $5x-2y-2kz=0$ , $3x+2ky+2z=k-3$;
si determini
1) la sua posizione rispetto al piano PiGreca:$x-2y-2z=0$ al variare di k ( con k appartenente all'insieme dei numeri Reali);
Devi intersecare il piano con la retta...
Salve a tutti!
Cominciando dal primo punto, ho messo a sistema l'equazione del piano PiGreco con i piani che intersecandosi individuano r. Il sistema risulta compatibile per qualsiasi valore di k ad esclusione di $k$ $=$ $1$, infatti per quest'ultimo il $rank(A)$ $=!$ $rank(A|b)$. Geometricamente ciò vuol dire che per $k$ $=!$ $ 1$ la retta r e il paino PiGreco sono paralleli per $k$ $=$ $1$ e incidenti nel punto $P =((k-3)/(k-1), ((k-5)*(k-3))/(2*(k-1)^2), (2*(k-3))/(k-1)^2)$ per $k =! 1$ ???
Cominciando dal primo punto, ho messo a sistema l'equazione del piano PiGreco con i piani che intersecandosi individuano r. Il sistema risulta compatibile per qualsiasi valore di k ad esclusione di $k$ $=$ $1$, infatti per quest'ultimo il $rank(A)$ $=!$ $rank(A|b)$. Geometricamente ciò vuol dire che per $k$ $=!$ $ 1$ la retta r e il paino PiGreco sono paralleli per $k$ $=$ $1$ e incidenti nel punto $P =((k-3)/(k-1), ((k-5)*(k-3))/(2*(k-1)^2), (2*(k-3))/(k-1)^2)$ per $k =! 1$ ???
Ho provato a risolvere l'esercizio, trovando i seguenti risultati:
punto 1)
come ha suggerito franced ho intersecato retta e piano, ottenendo un sistema lineare in funzone di k, con matrice
associata
$A=((5,-2,-2k),(3,2k,2),(1,-2,-2))$
retta e piano sono incidenti in un punto (in funzione di k) se e solo se il sistema è determinato, cioè se $A$ ha
rango =3. Questo si ottiene per $k != 1$ (si cacola il determinante e questo risulta uguale a $(k-1)^2$).
I punti di intersezione $P_k (x,y,z)$ si ottengono risolvendo il sistema, per esempio col metodo di kramer.
Caso $k=1$
$r)$ e $\pi)$ sono paralleli perchè $det(A)=0$. Per verificare se sono coincidenti o disgiunti si considera la
matrice orlata (cioè la matrice ottenuta da $A$ aggiungendo la colonna dei termini noti,sempe con $k=1$)
$((5,-2,-2,0),(3,2,2,-2),(1,-2,-2,0))$
questa matrice ha rango 3,dunque retta e piao sono disgiunti.
punto 2)
dall'equazione cartesiana di $r)$, con $k=-1$, si ricava una sua rappresentazione parametrica. Per verificare se hanno punti in comune si eguagliano le $x,y,z,$ delle 2 rappresentazioni. Si risolve il sistema a tre equazioni e 2 variabili e si ottiene un valore per il primo parametro e uno per il secondo che, sostituiti nelle rispettive parametrizzazioni danno come risultato il punto comune $P=(2,5,0)$.
punto 3)
dalle rappresentazioni parametriche di $r)$ ed $s)$ si ottengono i vettori di direzione $\vec r = (0,-4,-4)$ e $\vec s = (6,3,1)$.
L'equazione cartesiana del piano è
$|(x,y,z),(0,-4,-4),(6,3,1)|=0$, svolgendo i calcoli con Laplace si ottiene $x-3y+3z=0$.
......torna?
punto 1)
come ha suggerito franced ho intersecato retta e piano, ottenendo un sistema lineare in funzone di k, con matrice
associata
$A=((5,-2,-2k),(3,2k,2),(1,-2,-2))$
retta e piano sono incidenti in un punto (in funzione di k) se e solo se il sistema è determinato, cioè se $A$ ha
rango =3. Questo si ottiene per $k != 1$ (si cacola il determinante e questo risulta uguale a $(k-1)^2$).
I punti di intersezione $P_k (x,y,z)$ si ottengono risolvendo il sistema, per esempio col metodo di kramer.
Caso $k=1$
$r)$ e $\pi)$ sono paralleli perchè $det(A)=0$. Per verificare se sono coincidenti o disgiunti si considera la
matrice orlata (cioè la matrice ottenuta da $A$ aggiungendo la colonna dei termini noti,sempe con $k=1$)
$((5,-2,-2,0),(3,2,2,-2),(1,-2,-2,0))$
questa matrice ha rango 3,dunque retta e piao sono disgiunti.
punto 2)
dall'equazione cartesiana di $r)$, con $k=-1$, si ricava una sua rappresentazione parametrica. Per verificare se hanno punti in comune si eguagliano le $x,y,z,$ delle 2 rappresentazioni. Si risolve il sistema a tre equazioni e 2 variabili e si ottiene un valore per il primo parametro e uno per il secondo che, sostituiti nelle rispettive parametrizzazioni danno come risultato il punto comune $P=(2,5,0)$.
punto 3)
dalle rappresentazioni parametriche di $r)$ ed $s)$ si ottengono i vettori di direzione $\vec r = (0,-4,-4)$ e $\vec s = (6,3,1)$.
L'equazione cartesiana del piano è
$|(x,y,z),(0,-4,-4),(6,3,1)|=0$, svolgendo i calcoli con Laplace si ottiene $x-3y+3z=0$.
......torna?
ok, ora ho capito il procedimento! Grazie mille. 
prego.
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