Problema sulla determinazione dell'eq di una conica.
Salve, sto provando a risolvere un problema d'esame e, non avendo i risultati a portata di mano, non sono sicuro se quello che stia facendo sia corretto o meno. Inoltre non sono ancora molto pratico con questo tipo di esercizi, quindi penso di star sbagliando...
Ecco il testo:
Nello spazio euclideo $R^{2}$ sono dati i punti O(0,0) e A(2,0) e la retta r parametrica:
$r: {x=2t-2, y=t}$
1) Determinare i punti P di r tali che la circonferenza che passa per O, A e P abbia centro sulla retta $x-y=0$
2) Detti P1, P2 tali punti, scrivere l'eq. dell'iperbole che passa per O e che ha come asintoti le rette tangenti alla circonf. in P1 e P2.
Per adesso mi sto concentrando sul punto 1.
Il mio ragionamento è stato quello di usare un fascio di coniche passante per 5 punti che, essendo 4 di essi non allineati, ha 1 sola soluzione, che dovrebbe essere la mia circonferenza. Ora i miei punti dovrebbero essere:
O(0,0), A(2,0), 2 punti di tangenza in r, 1 punto di tangenza in $x-y=0$.
Ora, ancora il metodo del fascio passante per 5 punti non mi è molto chiaro, quindi ho lavorato sulla falsa riga di un esercizio svolto che ho trovato in un libro.
Il fascio dovrebbe quindi essere determinato da 2 coniche, 1 spezzata nelle rette $x-y = 0$ (retta del centro) e $x-2y-2=0$(retta parametrica data), e quella spezzata nella retta AB contata 2 volte.
Quello che mi esce fuori sarebbe qualcosa del tipo:
$(x-2y+2)(x-y) + \lambda (y)^{2}$ = 0
Ora... sviluppando quest'equazione con $\lambda = 1$ mi viene fuori:
$x^{2} + 3y^{2} - 3xy + 2x -2y = 0$
Che a me non sembra per niente l'equazione di una circonferenza... Dove sto sbagliando?
Ecco il testo:
Nello spazio euclideo $R^{2}$ sono dati i punti O(0,0) e A(2,0) e la retta r parametrica:
$r: {x=2t-2, y=t}$
1) Determinare i punti P di r tali che la circonferenza che passa per O, A e P abbia centro sulla retta $x-y=0$
2) Detti P1, P2 tali punti, scrivere l'eq. dell'iperbole che passa per O e che ha come asintoti le rette tangenti alla circonf. in P1 e P2.
Per adesso mi sto concentrando sul punto 1.
Il mio ragionamento è stato quello di usare un fascio di coniche passante per 5 punti che, essendo 4 di essi non allineati, ha 1 sola soluzione, che dovrebbe essere la mia circonferenza. Ora i miei punti dovrebbero essere:
O(0,0), A(2,0), 2 punti di tangenza in r, 1 punto di tangenza in $x-y=0$.
Ora, ancora il metodo del fascio passante per 5 punti non mi è molto chiaro, quindi ho lavorato sulla falsa riga di un esercizio svolto che ho trovato in un libro.
Il fascio dovrebbe quindi essere determinato da 2 coniche, 1 spezzata nelle rette $x-y = 0$ (retta del centro) e $x-2y-2=0$(retta parametrica data), e quella spezzata nella retta AB contata 2 volte.
Quello che mi esce fuori sarebbe qualcosa del tipo:
$(x-2y+2)(x-y) + \lambda (y)^{2}$ = 0
Ora... sviluppando quest'equazione con $\lambda = 1$ mi viene fuori:
$x^{2} + 3y^{2} - 3xy + 2x -2y = 0$
Che a me non sembra per niente l'equazione di una circonferenza... Dove sto sbagliando?
Risposte
Ma non ti stai complicando troppo la vita? Dunque, considera la richiesta: vuoi determinare i punti sulla retta. Ora, la circonferenza presenta tre caratteristiche: ha il centro su $y=x$, passa per $O$ e passa per $A$. Adesso, l'equazione canonica della circonferenza è la seguente
$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$
per cui il passaggio per i due punti ci dice che $c=0$ e $a=-2$. D'altra parte, le coordinate del centro della circonferenza sono uguali, per cui $b=a=-2$ (ricorda che il centro ha coordinate $C(-a/2,-b/2)$). Pertanto vi è una sola circonferenza utile
$$x^2+y^2-2x-2y=0$$
Se sostituisci le coordinate parametriche si trova
$$4t^2-8t+4+t^2-4t+4-2t=0$$
da cui $5t^2-14t+8=0$ che risolta da $t=4/5, t=2$, e quindi i punti $P_1(-2/5,4/5),\ P_2(2,2)$
$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$
per cui il passaggio per i due punti ci dice che $c=0$ e $a=-2$. D'altra parte, le coordinate del centro della circonferenza sono uguali, per cui $b=a=-2$ (ricorda che il centro ha coordinate $C(-a/2,-b/2)$). Pertanto vi è una sola circonferenza utile
$$x^2+y^2-2x-2y=0$$
Se sostituisci le coordinate parametriche si trova
$$4t^2-8t+4+t^2-4t+4-2t=0$$
da cui $5t^2-14t+8=0$ che risolta da $t=4/5, t=2$, e quindi i punti $P_1(-2/5,4/5),\ P_2(2,2)$
Non capisco perchè per i due punti imponga $c=0$ e $a=-2$... Potresti rispiegarmi quel pezzo più approfonditamente per favore? Per il resto ho capito... e vedo come il metodo di operare sia migliore rispetto al mio.
Ho sostituito le coordinate di $O$ e $A$ nell'equazione generale...
Per la seconda parte del problema ti dico come si potrebbe procedere ( col caldo che fa dove mi trovo io,
fare i calcoli mi riuscirebbe impossibile ...
)
Siano:
C il centro della circonferenza di cui al punto (1) del quesito
$d_1=0$ l'equazione della perpendicolare a $CP_1$ in $P_1$
$d_2=0$ l'equazione della perpendicolare a $CP_2$ in $P_2$.
Tali equazioni sono le equazioni delle tangenti alla circonferenza già trovata e quindi sono
anche le equazioni degli asintoti della iperbole richiesta.
Fatto questo , l'equazione dell'iperbole cercata sarà:
$d_1*d_2+A=0$, con $A$ costante da determinare [ti invito a dimostrare tale formula]
Imponendo il passaggio per l'origine $O$ puoi determinare quanto vale $A$ e quindi completare
l'esercizio.
fare i calcoli mi riuscirebbe impossibile ...
) Siano:
C il centro della circonferenza di cui al punto (1) del quesito
$d_1=0$ l'equazione della perpendicolare a $CP_1$ in $P_1$
$d_2=0$ l'equazione della perpendicolare a $CP_2$ in $P_2$.
Tali equazioni sono le equazioni delle tangenti alla circonferenza già trovata e quindi sono
anche le equazioni degli asintoti della iperbole richiesta.
Fatto questo , l'equazione dell'iperbole cercata sarà:
$d_1*d_2+A=0$, con $A$ costante da determinare [ti invito a dimostrare tale formula]
Imponendo il passaggio per l'origine $O$ puoi determinare quanto vale $A$ e quindi completare
l'esercizio.
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