Problema sul determinante ( posizione reciproca tra due rette )

[RyuzakiTA]

Ho un problema che non riesco proprio a risolvere Ho un esercizio che mi chiede dato lo spazio affine euclideo tridimensionale E3 si consideri la retta $ { ( cx - y + 1 = 0 ),( x -2y + z - 3=0 ):} $ e la retta $ { ( x = 1 + t' ),( y = 2 - t' ),( z = 2t' ):} $ , studiare la posizione reciproca delle due rette.
Portanto la seconda in forma cartesiana ho
$ { ( x + y -3 = 0 ),( 2x - z - 2 = 0):} $.. Scrivendo la matrice associata all'unione delle due rette, ottengo
$ ( ( c , -1 , 0 , 1 ),( 1 , -2 , 1 , -3 ),( 1 , 1 , 0 , -3 ),( 2 , 0 , -1 , -2 ) ) $
Calcolando il determinante con laplace , ottengo che questo è uguale a 0 con c = -5/11. Il fatto è che sostituendo il valore ottengo comunque rango 4 e non tre come dovrei avere...e sostituendo c nell'equazione della retta ottengo ( nella ricerca di un'intersezione) delle equazioni non verificate. Dove sbaglio? Ho provato anche dividendo la matrice 4x4 in 4 2x2 A,B,C,D , facendo poi AD-BC ma ottengo in quel caso un'altro valore di c (ovvero 5/6) per cui è la stessa storia..sono sicuro che il rango della matrice debba essere 4, ma allora perchè ottengo questi valori di c? Help

[RyuzakiTA]

RISOLTO! Nel calcolo dei determinanti delle 3x3 con Laplace sbagliavo il segno, poichè credevo di dover prendere la posizione dei numeri non in base alla matrice 3x3 ma in base alla posizione che avevano nella matrice 4x4 da cui erano stati estratti, sbagliando Facendo i segni in modo normale mi trovo c= -1/11 che fa scendere il rango a 4, si può chiudere