Problema sul contenimento di una retta in un piano
Salve, sul mio libro di testo di Geometria ci sono vari esercizi, ma non c'è alcun tipo di riferimento alla soluzione, quindi vorrei avere un parere sullo svolgimento dello stesso, di cui non sono sicuro della riuscita.
Quindi, il testo dice:
-Dato un sistema di riferimento \( RA(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k)} \) nello spazio, considerariamo i vettori
\( \vec{OA}= \vec{i}+\vec{j}+3\vec{k} \)
e
\( \vec{OA}= 2\vec{i}-\vec{j}-3\vec{k} \)
Sia \( \pi = Span(\vec{OA},\vec{OB}) \) il piano generato da questi due vettori. Trova per quali valori di \( a\in R \) (se ne esistono) la retta r di equazione parametrica
\( \begin{cases} 8+4t \\ 10+5t \\ 2a+at \end{cases} \)
è contenuta nella retta.
Quindi, ho proceduto così, in primo luogo ho cercato l'equazione parametrica del piano, quindi per prima cosa ho cercato i vettori direttori che creassero un piano che passasse per l'origine, poi ho preso un vettore che avesse come estremo un punto del piano effettivo (ho usato in questo caso OA)
quindi l'equazione è venuta così:
\( \pi = \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{vmatrix} + s\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} + t\begin{vmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{vmatrix} \)
Ora, fin qua credo di aver proceduto bene, il punto è che non so come andare. Se non ci fosse l'inghippo dell'incognita \( a \) nella coordinata della quota si potrebbero prendere 2 punti a caso della retta e vedere se questi punti sono presenti sul piano (determinando la presenza della retta sul piano). Comunque credo che non ci sia nessun valore di \( a \) che faccia giacere la retta nel piano, in quanto la retta si sviluppa in tutte e 3 le dimensioni dello spazio, mentre il piano ha un valore di z costante (a meno che non abbia sbagliato a scrivere l'equazione), quindi al massimo (oddio, sicuramente se il mio ragionamento è giusto) c'è solo una intersezione
Voi che dite?
Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille in anticipo
Quindi, il testo dice:
-Dato un sistema di riferimento \( RA(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k)} \) nello spazio, considerariamo i vettori
\( \vec{OA}= \vec{i}+\vec{j}+3\vec{k} \)
e
\( \vec{OA}= 2\vec{i}-\vec{j}-3\vec{k} \)
Sia \( \pi = Span(\vec{OA},\vec{OB}) \) il piano generato da questi due vettori. Trova per quali valori di \( a\in R \) (se ne esistono) la retta r di equazione parametrica
\( \begin{cases} 8+4t \\ 10+5t \\ 2a+at \end{cases} \)
è contenuta nella retta.
Quindi, ho proceduto così, in primo luogo ho cercato l'equazione parametrica del piano, quindi per prima cosa ho cercato i vettori direttori che creassero un piano che passasse per l'origine, poi ho preso un vettore che avesse come estremo un punto del piano effettivo (ho usato in questo caso OA)
quindi l'equazione è venuta così:
\( \pi = \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{vmatrix} + s\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} + t\begin{vmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{vmatrix} \)
Ora, fin qua credo di aver proceduto bene, il punto è che non so come andare. Se non ci fosse l'inghippo dell'incognita \( a \) nella coordinata della quota si potrebbero prendere 2 punti a caso della retta e vedere se questi punti sono presenti sul piano (determinando la presenza della retta sul piano). Comunque credo che non ci sia nessun valore di \( a \) che faccia giacere la retta nel piano, in quanto la retta si sviluppa in tutte e 3 le dimensioni dello spazio, mentre il piano ha un valore di z costante (a meno che non abbia sbagliato a scrivere l'equazione), quindi al massimo (oddio, sicuramente se il mio ragionamento è giusto) c'è solo una intersezione
Voi che dite?Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille in anticipo
Risposte
Intanto, se calcoli il seguente prodotto vettoriale:
$|(veci,vecj,veck),(1,1,3),(2,-1,-3)|=9vecj-3veck$
ricavi un vettore perpendicolare al piano. Inoltre, il seguente vettore:
$4veci+5vecj+aveck$
giace lungo la retta. Infine, la condizione è soddisfatta se e solo se i due vettori di cui sopra sono perpendicolari:
$(9vecj-3veck)*(4veci+5vecj+aveck)=0 rarr [45-3a=0] rarr [a=15]$
Altrimenti, dopo aver ricavato l'equazione cartesiana del piano:
$[0*(x-0)+9*(y-0)-3*(z-0)=0] rarr [3y-z=0]$
la seguente condizione di appartenenza:
$3(10+5t)-(2a+at)=0$
deve essere indeterminata in $t$:
$\{(15-a=0),(30-2a=0):} rarr [a=15]$
$|(veci,vecj,veck),(1,1,3),(2,-1,-3)|=9vecj-3veck$
ricavi un vettore perpendicolare al piano. Inoltre, il seguente vettore:
$4veci+5vecj+aveck$
giace lungo la retta. Infine, la condizione è soddisfatta se e solo se i due vettori di cui sopra sono perpendicolari:
$(9vecj-3veck)*(4veci+5vecj+aveck)=0 rarr [45-3a=0] rarr [a=15]$
Altrimenti, dopo aver ricavato l'equazione cartesiana del piano:
$[0*(x-0)+9*(y-0)-3*(z-0)=0] rarr [3y-z=0]$
la seguente condizione di appartenenza:
$3(10+5t)-(2a+at)=0$
deve essere indeterminata in $t$:
$\{(15-a=0),(30-2a=0):} rarr [a=15]$
"anonymous_0b37e9":
Intanto, se calcoli il seguente prodotto vettoriale:
$|(veci,vecj,veck),(1,1,3),(2,-1,-3)|=9vecj-3veck$
ricavi un vettore perpendicolare al piano. Inoltre, il seguente vettore:
$4veci+5vecj+aveck$
giace lungo la retta. Infine, la condizione è soddisfatta se e solo se i due vettori di cui sopra sono perpendicolari:
$(9vecj-3veck)*(4veci+5vecj+aveck)=0 rarr [45-3a=0] rarr [a=15]$
Altrimenti, dopo aver ricavato l'equazione cartesiana del piano:
$[0*(x-0)+9*(y-0)-3*(z-0)=0] rarr [3y-z=0]$
la seguente condizione di appartenenza:
$3(10+5t)-(2a+at)=0$
deve essere indeterminata in $t$:
$\{(15-a=0),(30-2a=0):} rarr [a=15]$
Il secondo metodo non l'ho capito molto, sul primo invece ho un dubbio, ma con questo ragionamento la retta non potrebbe giacere su un qualunque piano perpendicolare al prodotto vettore, quindi parallelo al piano "iniziale"
Comunque il processo risolutivo da me sopra riportato è totalmente errato. probabilmente devo prendere ancora manualità con i concetti della geometria, dpotutto ho iniziato da 2 settimane. Comunque ho riprovato a risolverlo, in caso un vostro parere può essermi di grande aiuto.
Intanto il piano, essendo formato da due vettori avente origine nel punto O deve il piano necessariamente passare per tale punto, quindi l'equazione parametrica del piano può essere riscritto come somma vettoriale dei due vettori modulati ognuno da un valore scalare, ossia
\( \pi =\begin{cases} x=s+2h \\ y=s-h\\ z=3s-3h \end{cases} \)
Ora ho pensato di prendere due punti della retta per vedere se le coordinate ottenute corrispondono a un punto del piano, quindi per t=0 ottengo il vettore
\( \overrightarrow{OX}= \begin{vmatrix} 8 \\ 10 \\ 2a \end{vmatrix} \)
Ora impongo il seguente sistema per valutare la presenza del punto nel piano
\( \begin{cases} s+2h=8 \\ s-h=10 \\ 3s-3h=2a \end{cases} \)
che ha come risultati
\( s=20/3 \)
\( h=2/3 \)
\( a=9 \)
quindi il piano, salvo errori dovrebbe incidere con la retta avente a=9
adesso provo con il secondo punto della retta e vedere se ottengo un altro punto contemplato dal piano, quindi ottengo il vettore
\( \overrightarrow{0P}=\begin{vmatrix} 14 \\ -1 \\ 27 \end{vmatrix} \)
Ora se provo a fare la verifica con il sistema ovviamente il risultato non corrisponde.
In caso potreste dirmi dov'è che il mio ragionamente erra?
"ThisMan":
... sul primo invece ho un dubbio ...
Anche la retta passa per l'origine per ogni valore di $a$, basta sostituire $[t=-2]$. Avrei dovuto scriverlo, me ne sono dimenticato.
"ThisMan":
Ora impongo il seguente sistema per valutare la presenza del punto nel piano ...
Hai sbagliato a risolverlo, $[a=15]$. Ad ogni modo, il tuo procedimento, anche se più involuto, è equivalente al secondo del mio primo messaggio: tu procedi mediante le equazioni parametriche del piano, io mediante l'equazione cartesiana.
"ThisMan":
$OP=((14),(-1),(27))$
Questo da dove salta fuori?
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