Problema sui sottospazi vettoriali e l'estrazione di una base

[fenghuang]

Ciao a tutti! Sto svolgendo un esercizio sui sottospazi e sulle loro relative basi, ma in uno di questi mi blocco e guardando lo svolgimento fatto a lezione non mi tornano le conclusioni. Penso che siano errate onestamente, ma è sempre meglio chiedere!
Inoltre, se qualcuno potesse anche spiegarmi come estrarre una base in questo specifico problema mi sarebbe di grande aiuto.
Ecco l'esercizio:

Sia

$A= {p \in p[RR] : deg(p) <= 2, p(2)=p(3)=0}$

mi viene richiesto di determinare se A è sottospazio vettoriale e, nel caso, estrarre una base e determinare la dimensione.

per dimostrare che è sottospazio vettoriale non ho problemi visto che lo $p_0 (x) \in A$ e presi $p(x), q(x) \in A$ posso mostrare che la loro somma sta in $A$ dato che

$p(2)=q(2)=p(3)=q(3)=0$

infatti

$(p + q)(x) = p(x) + q(x)$ e quindi

$(p + q)(2)= p(2) + q(2) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = p(3) + q(3) = (p + q)(3)$

Inoltre

$deg(p + q)(x) <= 2$

Preso poi $λ \in R$ ho che

$deg(λx) <= 2$

e che

$(λp)(x) = λ p(x)$

da cui

$(λp)(2) =λ(p)(2) = λ 0 = 0$

allo stesso modo per 3.

quindi $A$ è sottospazio vettoriale.

Ora devo estrarre una base. Per far ciò devo trovare un insieme di vettori linearmente indipendenti che generino $A$.

Come dicevo, non saprei bene come muovermi per trovare la base in questo caso. Quello che mi viene dato come soluzione è che il generico $p \in A$ può essere considerato come

$p = a(x -2)(x -3)$

e quindi deduce che $A$ è generato da $<(x -2),(x-3)>$.

Inoltre mi dice che $(x-2)$ è base di $A$ e quindi la dimensione di $A$ è uno.

Tutta la soluzione non mi torna. Sapreste dirmi se è corretta e nel caso dirmi perché?

Grazie a tutti per l'attenzione

[stormy1]

i polinomi che stiamo considerando sono di grado non superiore a 2,e si annullano in 2 e 3
quindi sono esattamente di 2°grado
alle scuole superiori abbiamo imparato che se un polinomio $P(x)$ si annulla in $c$,esso è divisibile per $(x-c)$
quindi i nostri polinomi sono divisibili per $(x-2)$ ed $(x-3)$
pertanto si possono scrivere nella forma $a(x-2)(x-3)$
a questo punto penso che alla fine tu abbia preso male gli appunti,perchè è ovvio che una base del sottospazio vettoriale è il polinomio $(x-2)(x-3)$