Problema sui sottospazi vettoriali.

[UmbertoM1]

Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, ed un numero infinito di sottospazi $(W_i)_(iinI)$ di $V$, dire se esiste un sottospazio di $V$ che contiene tutti i $W_i$ ($iinI$). Esiste il piu piccolo sottospazio di $V$ fra quelli che
contengono tutti i $Wi$ ($iinI$)? Se esiste, darne una descrizione esplicita.

[Kashaman]

Esiste, si tratta del sottospazio somma di sottospazi.
Ti do l'input, cerca di generalizzare.
Sia $n=2$ e $W_1,W_2$ sottospazi di $V$. Definito $W_1+W_2={v in V | EE w_1 in W_1 , w_2 in W_2 t.c v=w_1+w_2}$
$W_1+W_2$ è il più piccolo sottospazio di $V$ contente $W_1$ e $W_2$.
Si può estendere al caso di infiniti sottospazi, la dimostrazione, con dovute modifiche, ricalca quella del caso $n=2$. Almeno penso

[UmbertoM1]

Beh, se fosse $n$ un numero finito di sottospazi, ovviamente la loro somma da il piu piccolo sottospazio che li contiene tutti, ma non so se vale per infiniti sottospazi. Come si dimostrerebbe l'esistenza?
L'eventuale descrizione esplicita dovrebbe essere $sum_(i\inI)W_i$.

Per il caso di $2$ sottospazi $W_1$ e $W_2$, se non fosse la somma il sottospazio piu piccolo che li contiene entrambi, ma un generico sottospazio $U$, allora esisterebbe un vettore $vecvinU:vecvnotin(W_1+W_2)$.
ma $vecvinU=>(vecvinW_1vv\vecvinW_2)$ Perché abbiamo detto che $U$ li contiene entrambi ed è il più piccolo (da cui segue che non possono esserci altri sottospazi contenuti in esso). Ma allora $vecvin(W_1+W_2)$, e quindi è una contraddizione.

[Kashaman]

"UmbertoM":Beh, se fosse $n$ un numero finito di sottospazi, ovviamente la loro somma da il piu piccolo sottospazio che li contiene tutti

Sicuro che sia così ovvio?

Per il caso di $2$ sottospazi $W_1$ e $W_2$, se non fosse la somma il sottospazio piu piccolo che li contiene entrambi, ma un generico sottospazio $U$, allora esisterebbe un vettore $vecvinU:vecvnotin(W_1+W_2)$.

cosa, di preciso ti permette di giustificare questa implicazione?

ma $vecvinU=>(vecvinW_1vv\vecvinW_2)$

e se $W_1nnW_2={0_V}$? Dal fatto che $u$ contiene i due sottospazi non puoi dedurne che esiste un elemento comune a entrambi

Perché abbiamo detto che $U$ li contiene entrambi ed è il più piccolo (da cui segue che non possono esserci altri sottospazi contenuti in esso). Ma allora $vecvin(W_1+W_2)$, e quindi è una contraddizione.

A mio parere la dimostrazione è sbagliata, fammi notare se sbaglio. Di seguito , una possibile interpretazione.

Consideriamo $U$,$W$ sottospazi di $V$
e $U+V$ il sottospazio somma . $ v in U+V <=> EE u in U , w in W : v=u+w$
Dobbiamo provare che è il più piccolo sottospazio contenente $U+W$. (in altri termini se $UsubeH$ , $W sube H => U+WsubeH$
Sia $H$ un sottospazio di $V$ tale che $U sube H$ , $Wsube H$
Sia $u in U$ poiché $UsubeH => u in H$
Sia $w in W$ , per le stesse ragioni, $w in H$
Ora per ipotesi $H$ è un sottospazio. Pertanto $u+w in H$
Data la generalità di $u,v$ , e la definizione di $U+W$ , ciò prova che $U+V sube H$. Come volevasi

[gugo82]

In generale, un sottospazio \(\tilde{U}\) di tal fatta esiste sempre.

Invero, denotiamo con \(\mathcal{S} := \{ U\leq V:\ W_i\leq U \text{ per ogni } i\in I\}\) la classe dei sottospazi di \(V\) che contengono (come sottospazi) tutti i \(W_i\).
Evidentemente \(\mathcal{S}\neq \varnothing\) perchè \(V\in \mathcal{S}\).
Quindi ha senso considerare \(\tilde{U}:=\bigcap_{U\in \mathcal{S}} U\) (l'intersezione di tutti gli elementi di \(\mathcal{S}\)): evidentemente \(\tilde{U}\) è un sottospazio di \(V\), perchè è intersezione di sottospazi, e contiene tutti i \(W_i\), perchè ognuno di essi è contenuto in tutti gli \(U\in \mathcal{S}\); pertanto si ha \(\tilde{U}\in \mathcal{S}\) e, per definizione \(\tilde{U}\leq U\) per ogni \(U\in \mathcal{S}\). Quindi \(\tilde{U}\) è il più piccolo sottospazio di \(V\) contenente tutti i \(W_i\).

Per caratterizzarlo, basta far vedere che si ha:
\[
\tilde{U} =\operatorname{span} \bigcup_{i\in I}W_i
\]
cioè che \(\tilde{U}\) coincide col sottospazio generato da \(\bigcup_{i\in I}W_i\) (che poi sarebbe il sottospazio che contiene tutte le combinazioni lineari degli elementi di tutti i \(W_i\)).