Problema sugli spazi affini
ciao a tutti cerco consigli per questo problema di un esame:
a)Determinare le rette di $ A^3 $ che passano per $P$:$(1,1,1)$ e sono parallele al piano $p$:$x+z-1=0$
b)Verificare che tali rette appartengono al piano $p'$ parallelo a $p$ e passante per $P$
ora ....non so se conviene usare la stella di rette come equazione parametrica...gia che ci siamo qualcuno mi chiarirebbe il dubbio se servono 3 rette per avere una stella di rette??
io ho pensato di prendere una generica retta che passa per $P$ tipo : $ { ( a+b+c+d ),( a+b+c+d ):} $ oppure $ (( x-1 , y-1 , z-1 ),( l , m , n ) ) $ con l,m,n generici...ma in entrambi i casi non riesco a stabilire il parallelismo con il piano annullando il determinante della matrice
qualcuno potrebbe darmi qualche indizio?
a)Determinare le rette di $ A^3 $ che passano per $P$:$(1,1,1)$ e sono parallele al piano $p$:$x+z-1=0$
b)Verificare che tali rette appartengono al piano $p'$ parallelo a $p$ e passante per $P$
ora ....non so se conviene usare la stella di rette come equazione parametrica...gia che ci siamo qualcuno mi chiarirebbe il dubbio se servono 3 rette per avere una stella di rette??
io ho pensato di prendere una generica retta che passa per $P$ tipo : $ { ( a+b+c+d ),( a+b+c+d ):} $ oppure $ (( x-1 , y-1 , z-1 ),( l , m , n ) ) $ con l,m,n generici...ma in entrambi i casi non riesco a stabilire il parallelismo con il piano annullando il determinante della matrice
qualcuno potrebbe darmi qualche indizio?
Risposte
Credo si tratti di trovare il fascio di rette di centro $P$che giace su un piano contenente $P$ e parallelo a $p$
Io agirei cosi':
trovo il piano $\alpha$ passante per $P$ e parallelo al piano $p$ conoascendo i parametri del piano $p$:
$\alpha:1*(x-1)+0*(y-1)+1*(z-1)=0$
trovo laretta perpendicolare per $P$ col rango:
$r:rg((x-1,1),(y-0,0),(z-1,1))$ da cui ti trovo il fascio di piani $\beta$ nel parametro k.a me viene:$\beta:x-z+ky=0$
Il fascio di rette e' costituito dall'intersezione del fascio di piani $\beta$ e il piano $\alpha$
Io agirei cosi':
trovo il piano $\alpha$ passante per $P$ e parallelo al piano $p$ conoascendo i parametri del piano $p$:
$\alpha:1*(x-1)+0*(y-1)+1*(z-1)=0$
trovo laretta perpendicolare per $P$ col rango:
$r:rg((x-1,1),(y-0,0),(z-1,1))$ da cui ti trovo il fascio di piani $\beta$ nel parametro k.a me viene:$\beta:x-z+ky=0$
Il fascio di rette e' costituito dall'intersezione del fascio di piani $\beta$ e il piano $\alpha$
"legendre":
Credo si tratti di trovare il fascio di rette di centro $P$che giace su un piano contenente $P$ e parallelo a $p$
Io agirei cosi':
trovo il piano $\alpha$ passante per $P$ e parallelo al piano $p$ conoascendo i parametri del piano $p$:
$\alpha:1*(x-1)+0*(y-1)+1*(z-1)=0$
trovo laretta perpendicolare per $P$ col rango:
$r:rg((x-1,1),(y-0,0),(z-1,1))$ da cui ti trovo il fascio di piani $\beta$ nel parametro k.a me viene:$\beta:x-z+ky=0$
Il fascio di rette e' costituito dall'intersezione del fascio di piani $\beta$ e il piano $\alpha$
il fascio di rette può essere trovato anche attraverso l'intersezione della stella di rette con il piano alfa(piano parallelo a $p$ che passa per $P$)?
in tal caso come si trova la stella di rette?
"legendre":
trovo laretta perpendicolare per $P$ col rango:
$r:rg((x-1,1),(y-0,0),(z-1,1))$ da cui ti trovo il fascio di piani $\beta$ nel parametro k.a me viene:$\beta:x-z+ky=0$
...non vedo la retta che passa per P,c'è un errore?
allora,vi prego di correggermi se sbaglio
trovo il piano $alpha$ parallelo al piano $p$ che passa per $P$,$alpha$:$x+z-2=0$
per determinare la retta perpendicolare al piano $alpha$(come anche a $p$),passante per $P$,uso il punto $P$ e il vettore normale al piano$(1,0,1)$ che sarà il vettore direttore della retta che sto cercando
un punto,piu la direzione mi danno la retta $r$: $ ( ( x-1 , y-1 , z-1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) =0->$ $ { ( y-1=0 ),( x-z=0 ):} $
a questo punto faccio come mi è stato suggerito e trovo il fascio di piani per la retta perpendicolare elo metto a sistema con il piano $alpha$,a questo punto avrei trovato il fascio di rette parallele:
$ { ( alpha(y-1)+beta(x-z)=0 ),( x+z-2=0 ):} $
a me sembra giusto,ma ho dubbi sul secondo quesito del problema:b)verificare che tali rette appartengono al piano $p'$ parallelo a $p$ passante per $P$.
infatti,tanto per cominciare $p'=alpha$ quindi mi troverei a verificare una condizione di per se imposta!!che senso avrebbe? ecco perche per me è incomporensibile,mi fa pensare che ci sia un altro procedimento che dia valore al secondo quesito,anche se il primo per come è stato svolto non vedo perche non dovrebbe andare(e il secondo quesito deve avere valore perche vale 3 punti su 30...)
vi prego di non abbandonare questo topic
trovo il piano $alpha$ parallelo al piano $p$ che passa per $P$,$alpha$:$x+z-2=0$
per determinare la retta perpendicolare al piano $alpha$(come anche a $p$),passante per $P$,uso il punto $P$ e il vettore normale al piano$(1,0,1)$ che sarà il vettore direttore della retta che sto cercando
un punto,piu la direzione mi danno la retta $r$: $ ( ( x-1 , y-1 , z-1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) =0->$ $ { ( y-1=0 ),( x-z=0 ):} $
a questo punto faccio come mi è stato suggerito e trovo il fascio di piani per la retta perpendicolare elo metto a sistema con il piano $alpha$,a questo punto avrei trovato il fascio di rette parallele:
$ { ( alpha(y-1)+beta(x-z)=0 ),( x+z-2=0 ):} $
a me sembra giusto,ma ho dubbi sul secondo quesito del problema:b)verificare che tali rette appartengono al piano $p'$ parallelo a $p$ passante per $P$.
infatti,tanto per cominciare $p'=alpha$ quindi mi troverei a verificare una condizione di per se imposta!!che senso avrebbe? ecco perche per me è incomporensibile,mi fa pensare che ci sia un altro procedimento che dia valore al secondo quesito,anche se il primo per come è stato svolto non vedo perche non dovrebbe andare(e il secondo quesito deve avere valore perche vale 3 punti su 30...)
vi prego di non abbandonare questo topic
neanche un parere?
Credo che il metodo sia giusto e viene se dividi per $\alpha$ si ha:
${(x-z+(\alpha/\beta)(y-1)=0),(x+z-2=0):}$
cioe':
${(x-z+k(y-1)=0),(x+z-2=0):}$
se sostituisci il punto $P=(1,1,1)$ al sistema sopra ottieni:
${(1-1+k(1-1)=0),(1+1-2=0):}$
cioe' verifica che passa per $P$,ma per costruzione tali rette giaciono sul piano $p'$ parallelo a $p$
${(x-z+(\alpha/\beta)(y-1)=0),(x+z-2=0):}$
cioe':
${(x-z+k(y-1)=0),(x+z-2=0):}$
se sostituisci il punto $P=(1,1,1)$ al sistema sopra ottieni:
${(1-1+k(1-1)=0),(1+1-2=0):}$
cioe' verifica che passa per $P$,ma per costruzione tali rette giaciono sul piano $p'$ parallelo a $p$
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