Problema sugli autovettori...

[d1gu4k3r]

Ho un problema con una matrice e la ricerca degli autovettori..
Data questa matrice...
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $
Dire quale affermazione è corretta:
1) $ (1,2,1) $ è un autovettore
2) La somma degli autovalori è 3.
3)Tutti gli autovettori sono paralleli fra loro
Io avevo rispostola 2) perchè mi vengono 3 autovalori uguali di valore $ l=1 $ ,
mentre invece la risposta giusta è la 3), e non capisco perchè la 2) non è corretta?

[vict85]

È una matrice di permutazione ed è una permutazione senza punti fissi. Quindi fissa soltanto il sottospazio \(\displaystyle\mathbb{R}( \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3) \) con autovalore 1, le altre radici del polinomio sono invece complesse. La somma dei tre autovalori è complessa e certamente diversa da 3.

Il polinomio caratteristico è: \(\displaystyle -(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda + 1) \)

[robe921]

ma se nel polinomio caratteristico ci sono radici complesse la matrice non è non-diagonalizzabile?

[vict85]

"robe92":ma se nel polinomio caratteristico ci sono radici complesse la matrice non è non-diagonalizzabile?

Ho per caso detto che è diagonalizzabile?

[d1gu4k3r]

"vict85":È una matrice di permutazione ed è una permutazione senza punti fissi. Quindi fissa soltanto il sottospazio \(\displaystyle\mathbb{R}( \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3) \) con autovalore 1, le altre radici del polinomio sono invece complesse. La somma dei tre autovalori è complessa e certamente diversa da 3.

Il polinomio caratteristico è: \(\displaystyle -(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda + 1) \)

Scusa la mia ignoranza cosa significa "permutazione senza punti fissi"?
E poi a me il polinomio caratteristico viene \(\displaystyle -\lambda^3 + 1\)(che se non sbaglio corrisponde a quello che giustamente hai detto te), ma gli autovalori non sono tutti uguali a $ 1 $ (von molteplicità $ 3 $ )?

[Sk_Anonymous]

$[lambda^3-1=0] rarr [(lambda-1)(lambda^2+lambda+1)=0] rarr [lambda_1=1] vv [lambda_2=-1/2+isqrt3/2] vv [lambda_3=-1/2-isqrt3/2]$

[vict85]

"d1gu4k3r":
Scusa la mia ignoranza cosa significa "permutazione senza punti fissi"?

È una permutazione nel senso che scambia tra di loro le basi. Senza punti fissi nel senso che non manda nessun vettore della base in se stesso.