Problema su successione di determinanti

[Qfwfq1]

Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema:
Data la matrice $A_n \in \mathcal{M}_{n-1,n-1}$ di elementi $ a_{ij}={ (1\qquad i\ne j),( i+2 \qquad i=j ):} $ determinare il comportamento della successione $c_n=\frac{\det(A_{n}) }{n!}$.
Il mio approccio inizialmente è stato quello di cercare una formula chiusa per determinante di $A_n$ utilizzando opportunamente l'eliminazione gaussiana ma non riesco a venirne fuori sebbene sono quasi sicuro che la soluzione del problema preveda l'utilizzo di questo approccio.

[spugna2]

Scrivi $A_n=U_n+D_n$, dove $U_n$ è la matrice con tutti i coefficienti $1$ e $D_n$ è la matrice che ha $2,3,...,n$ sulla diagonale e $0$ altrove: usando la linearità del determinante sulle colonne, $\det(A_n)$ è la somma dei determinanti di tutte le matrici $M$ tali che l'$i-$esima colonna di $M$ coincide con l'$i-$esima colonna di $U_n$ o di $D_n$ (in totale ci sono $2^{n-1}$ matrici perché ci sono due possibilità per ogni colonna). Ora, tutte le matrici in cui almeno due colonne provengono da $U_n$ hanno determinante nullo (due colonne uguali), quindi rimangono solo:

- $D_n$, che ha determinante $n!$;
- le $n-1$ matrici che si ottengono da $D_n$ rimpiazzando una colonna con la corrispondente colonna di $U_n$: queste matrici sono triangolari a blocchi, e il loro determinante è il prodotto dei coefficienti sulla diagonale, cioè il prodotto di tutti gli interi da $2$ a $n$ tranne uno.

Mettendo tutto insieme viene $(\det(A_n))/(n!)=1+1/2+...+1/n$, che è asintoticamente equivalente a $\ln(n)$.

Se vuoi farlo con l'eliminazione gaussiana potresti provare con lo sviluppo di Laplace sull'ultima riga: un termine è esattamente $\det(A_{n-1})$, mentre tutti gli altri sono determinanti di matrici nella cui ultima colonna ci sono solo degli $1$, quindi puoi sottrarre questa colonna da tutte le altre e ti vengono delle matrici più trattabili (non ho fatto tutti i conti, ma sono quasi sicuro che si possa concludere anche da qui).