Problema su quozienti ed identificazioni topologiche
Allora vi spiego il mio problema. Ho una funzione $f$ continua fra $X$ ed $Y$ due spazi topologici, poi sia $tilde$ una relazione di equivalenza su $X$. Sia $p$ la proiezione al quoziente che va da $X$ a $X$/$tilde$. Chiamiamo $f*$ la funzione che va da $X$/$tilde$ a $Y$, così abbiamo costruito un diagramma commutativo dove $f(x)$=$f*(p(x))$, dovrei dimostrazione che $f*$ è un omeomorfismo se e solo se $f$ è un identificazione, non ho idea di come iniziare, ogni vostro aiuto è ben accetto. Grazie!
Una funzione f tra due spazi topologici si dice identificazione se essa è continua e suriettiva e se la topologia quoziente coincide con la topologia su Y
Una funzione f tra due spazi topologici si dice identificazione se essa è continua e suriettiva e se la topologia quoziente coincide con la topologia su Y
Risposte
Ricordare qual e' la definizione di identificazione (anche a noi, per dire), potrebbe essere un buon inizio. 
Potrebbe anche aiutarti ricordare che il quoziente di uno spazio per una relazione soddisfa una proprieta' universale http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space#Properties
Potrebbe anche aiutarti ricordare che il quoziente di uno spazio per una relazione soddisfa una proprieta' universale http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space#Properties
Si questo teorema lo conosco, ma non riesco ad arrivare al risultato sopra citato!
Non finisco ma ti dico qualcosa.
Per una prima meta', se \(\hat f\) e' un omeomorfismo allora \(f\) e' continua e suriettiva praticamente gratis, dato che e' composizione di funzioni continue e suriettive. Poi alla stessa ipotesi dovrebbe essere vero che \(f\) e' quoziente sse \(p\) e' quoziente, e la seconda lo e'.
Viceversa, se $f$ e' un'identificazione essa e' continua e suriettiva, cio' che implica che \(\hat f\) lo sia (continua, per la proprieta' universale; suriettiva per un fatto insiemistico elementare, ossia che se $fg=h$ e' suriettiva allora lo e' $f$).
Per una prima meta', se \(\hat f\) e' un omeomorfismo allora \(f\) e' continua e suriettiva praticamente gratis, dato che e' composizione di funzioni continue e suriettive. Poi alla stessa ipotesi dovrebbe essere vero che \(f\) e' quoziente sse \(p\) e' quoziente, e la seconda lo e'.
Viceversa, se $f$ e' un'identificazione essa e' continua e suriettiva, cio' che implica che \(\hat f\) lo sia (continua, per la proprieta' universale; suriettiva per un fatto insiemistico elementare, ossia che se $fg=h$ e' suriettiva allora lo e' $f$).
Grazie tante, ma cosa significa f quoziente? Ovvero che la topologia di Y coincide con quella quoziente? PEr concludere con la prima implicazione non potrei dimostrare che f è aperta?
E poi per concludere la con la seconda implicazione non potrei sempre dimostrare che f* è aperta? Visto che se f* è aperta la sua inversa è continua?
E poi per concludere la con la seconda implicazione non potrei sempre dimostrare che f* è aperta? Visto che se f* è aperta la sua inversa è continua?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo