Problema su intersezione fra nucleo e spazio vettoriale
Salve a tutti, avrei un problema con un punto del seguente esercizio:
Sia f:R^4->R^4 l'endomorfismo definito da:
f((x,y,z,y))=(x+y, 3x+3y, 2z-4t, -z+2t)
-Determinare una base e la dimensione di Ker(f) e Im(f)
-Posto U={(x,y,z,y):x+2y-z+t=0}, determinare la base e la dimensione dei sottospazi di R^4 Ker(f)∩U e Ker(f)+U.
Riguardo al primo punto, credo di averlo svolto correttamente, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) mi vengono entrambe uguali a 2.
Ho costruito una base di Im(f) con i vettori [(1 3 0 0),(0 0 2 -1)] (linearmente indipendenti) e la base di Ker(f) l'ho costruita così: [(1 -1 2 4), (2 -2 1 2)].
E' del secondo punto che non ho idea come fare. Pensavo di costruire una matrice che ha come righe il vettore (1 2 -1 1) e i due vettori della base di Ker(f) che ho trovato, in modo da trovarmi la dimensione di Ker+U (e conseguentemente la dim di Ker∩U utilizzando Grassman), ma non ne sono per niente convinto!
Sia f:R^4->R^4 l'endomorfismo definito da:
f((x,y,z,y))=(x+y, 3x+3y, 2z-4t, -z+2t)
-Determinare una base e la dimensione di Ker(f) e Im(f)
-Posto U={(x,y,z,y):x+2y-z+t=0}, determinare la base e la dimensione dei sottospazi di R^4 Ker(f)∩U e Ker(f)+U.
Riguardo al primo punto, credo di averlo svolto correttamente, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) mi vengono entrambe uguali a 2.
Ho costruito una base di Im(f) con i vettori [(1 3 0 0),(0 0 2 -1)] (linearmente indipendenti) e la base di Ker(f) l'ho costruita così: [(1 -1 2 4), (2 -2 1 2)].
E' del secondo punto che non ho idea come fare. Pensavo di costruire una matrice che ha come righe il vettore (1 2 -1 1) e i due vettori della base di Ker(f) che ho trovato, in modo da trovarmi la dimensione di Ker+U (e conseguentemente la dim di Ker∩U utilizzando Grassman), ma non ne sono per niente convinto!
Risposte
Deve controllare la base del nucleo, non va bene.
E' vero, mi scuso, avevo fatto un errore di "distrazione" vorrei poter dire, anche se è per lo più dovuto alla mia mancata praticità non avendo fatto molti esercizi del genere.
In ogni caso, com'è che si prosegue? C'ero con il ragionamento della matrice ridotta a scala? Se si, come svilupparlo?
In ogni caso, com'è che si prosegue? C'ero con il ragionamento della matrice ridotta a scala? Se si, come svilupparlo?
Devi apportare le correzioni ai vettori della base di $Kerf$.
Per determinare una base di $kerfnnU$ devi risolvere un sistema omogeneo aggiungendo al sistema ottenuto per $kerf$ l'equazione che definisce $U$.
Per quanto riguarda $kerf+U$, costruisci un unico sistema di vettori con la base di $Kerf$ e la base di $U$.
Costruisci una matrice mettendo in colonna i vettori del precedente sistema e riduci a gradini, si trova così una base e la dimensione di $kerf+U$.
Per determinare una base di $kerfnnU$ devi risolvere un sistema omogeneo aggiungendo al sistema ottenuto per $kerf$ l'equazione che definisce $U$.
Per quanto riguarda $kerf+U$, costruisci un unico sistema di vettori con la base di $Kerf$ e la base di $U$.
Costruisci una matrice mettendo in colonna i vettori del precedente sistema e riduci a gradini, si trova così una base e la dimensione di $kerf+U$.
Grazie mille!
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