Problema su endomorfismo
Sia un endomorfismo espresso mediante base canonica, [tex]f:R^3->R^3[/tex] e sia la matrice associata all' applicazione:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &h &-1 \\
2&1 &h \\
1&2 &-1
\end{pmatrix}[/tex]
Determinare al variare di h [tex]f^-1(1,0,1)[/tex]
Cosa dovrei fare per determinarlo?
Intanto se non ricordo male qualcuno mi aveva detto di calcolare il determinante della matrice, se è uguale a 0 l' immagine inversa che devo cercare è unica.
Il determinante è: [tex]h^2-4[/tex]
Che è uguale a 0 per [tex]h=-\sqrt{2},h=\sqrt{2}[/tex]
Allora devo studiare 3 casi separati?
In ogni caso come dovrei procedere?
Dovrei determinare [tex]v'[/tex] tale che [tex]f(v')=v[/tex]
[tex]f(x,y,z)=(1,0,1)[/tex] o sbaglio?
Quindi devo scrivermi mediante la matrice associata alla f la legge della funzione che dovrebbe essere:
[tex]f(x,y,z)=x+hy-z,2x+y+hz,x+2y-z)[/tex]
E quindi dovrei risolvere il sistema dato da:
[tex]f(x,y,z)=(x+hy-z,2x+y+hz,x+2y-z)=(1,0,1)[/tex] ?
Ho provato a farlo....è abbastanza impegnativo...sempre ammesso che si faccia in questo modo.
[tex]\begin{pmatrix}
1 &h &-1 \\
2&1 &h \\
1&2 &-1
\end{pmatrix}[/tex]
Determinare al variare di h [tex]f^-1(1,0,1)[/tex]
Cosa dovrei fare per determinarlo?
Intanto se non ricordo male qualcuno mi aveva detto di calcolare il determinante della matrice, se è uguale a 0 l' immagine inversa che devo cercare è unica.
Il determinante è: [tex]h^2-4[/tex]
Che è uguale a 0 per [tex]h=-\sqrt{2},h=\sqrt{2}[/tex]
Allora devo studiare 3 casi separati?
In ogni caso come dovrei procedere?
Dovrei determinare [tex]v'[/tex] tale che [tex]f(v')=v[/tex]
[tex]f(x,y,z)=(1,0,1)[/tex] o sbaglio?
Quindi devo scrivermi mediante la matrice associata alla f la legge della funzione che dovrebbe essere:
[tex]f(x,y,z)=x+hy-z,2x+y+hz,x+2y-z)[/tex]
E quindi dovrei risolvere il sistema dato da:
[tex]f(x,y,z)=(x+hy-z,2x+y+hz,x+2y-z)=(1,0,1)[/tex] ?
Ho provato a farlo....è abbastanza impegnativo...sempre ammesso che si faccia in questo modo.
Risposte
L'immagine inversa di un elemento è unica se l'applicazione è iniettiva e questo accade quando $dim(Ker f)=0$ cioè quando $dimV = dim(Im f)$ dove $V$ è lo spazio di partenza... quindi proprio il contrario di quello che vuoi fare tu! Dato che le colonne della matrice sono i generatori di $Im f$, se questa matrice ha determinante $0$ significa che le sue colonne sono lin.dip. e quindi $dim(Im f)<3$.
Calcolare [tex]f^{-1}(1,0,1)[/tex] significa trovare i [tex]v=(x,y,z)[/tex] tali che [tex]f(v)=(1,0,1)\Rightarrow Av =(1,0,1)[/tex].
Quindi basta risolvere quel sistema (la cui discussione dipenderà da $h$ naturalmente).
Paola
Calcolare [tex]f^{-1}(1,0,1)[/tex] significa trovare i [tex]v=(x,y,z)[/tex] tali che [tex]f(v)=(1,0,1)\Rightarrow Av =(1,0,1)[/tex].
Quindi basta risolvere quel sistema (la cui discussione dipenderà da $h$ naturalmente).
Paola
Ti ringrazio tantissimo per la risposta, temevo non venissi ascoltato, è un esercizio che capita spesso all' esame e vorrei riuscirci, ti prego di seguirmi su come ho continuato.
Allora io ho studiato il sistema che dovrebbe diventare:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x+hy-z=1\\
2x+y+hz=0\\
x+2y-z=1\end{matrix}\right.[/tex]
Allora riducendo per righe:
[tex]R_2=2R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=R_1-R_3[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}
1 &h &-1 &1 \\
0&2h-1 &-2-h &2 \\
0&h-2 &0 &0
\end{pmatrix}[/tex]
Quindi se non ho commesso errori l'immagine inversa non è unica, poichè:
Per [tex]h=2[/tex] la matrice ha rango 2 (Quindi la dimensione dell' immagine non è uguale a quella di Kerf) e il sistema ammette [tex]\infty^1[/tex] soluzioni.
A me risulta:
[tex](x,y,z)=(\frac{-5z-1}{3},\frac{4z+2}{3},z)[/tex]
Per trovare il vettore forse dovrei mettere in evidenza z ottenendo come immagine inversa [tex](-2,2,1)[/tex]
Se [tex]h\neq 2[/tex] il rango dovrebbe essere 3 e quindi dovrei avere un' unica soluzione al variare di h:
[tex](x,y,z)=(-\frac{h}{-2-h},0,\frac{2}{-2-h})[/tex]
E quindi avrei: [tex]f^{-1}(1,0,1)=(\frac{1}{3},0,-\frac{2}{3})[/tex]
Qualcosa non va?
P.S sto avendo un' improvvisa perplessità, nelle matrici io quando riduco e devo considerare gli elementi speciali, posso prendere come elemento speciale uno della colonna che fa parte della matrice completa vero?
Allora io ho studiato il sistema che dovrebbe diventare:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x+hy-z=1\\
2x+y+hz=0\\
x+2y-z=1\end{matrix}\right.[/tex]
Allora riducendo per righe:
[tex]R_2=2R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=R_1-R_3[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}
1 &h &-1 &1 \\
0&2h-1 &-2-h &2 \\
0&h-2 &0 &0
\end{pmatrix}[/tex]
Quindi se non ho commesso errori l'immagine inversa non è unica, poichè:
Per [tex]h=2[/tex] la matrice ha rango 2 (Quindi la dimensione dell' immagine non è uguale a quella di Kerf) e il sistema ammette [tex]\infty^1[/tex] soluzioni.
A me risulta:
[tex](x,y,z)=(\frac{-5z-1}{3},\frac{4z+2}{3},z)[/tex]
Per trovare il vettore forse dovrei mettere in evidenza z ottenendo come immagine inversa [tex](-2,2,1)[/tex]
Se [tex]h\neq 2[/tex] il rango dovrebbe essere 3 e quindi dovrei avere un' unica soluzione al variare di h:
[tex](x,y,z)=(-\frac{h}{-2-h},0,\frac{2}{-2-h})[/tex]
E quindi avrei: [tex]f^{-1}(1,0,1)=(\frac{1}{3},0,-\frac{2}{3})[/tex]
Qualcosa non va?
P.S sto avendo un' improvvisa perplessità, nelle matrici io quando riduco e devo considerare gli elementi speciali, posso prendere come elemento speciale uno della colonna che fa parte della matrice completa vero?
Per [tex]h=2[/tex] hai trovato la soluzione [tex]f^{-1}(1,0,1)=\{t(-2,2,1): t\in\mathbb{R}\}[/tex] cioè è tutto un sottospazio di dimensione [tex]1[/tex].
Per [tex]h\neq 2[/tex] la soluzione è un unico vettore, [tex]\displaystyle (\frac{h}{h+2},0\frac{2}{-(h+2)})[/tex]. Non puoi sostituire un qualunque valore ad $h$, è concettualmente sbagliato. $h$ è un parametro fisso, immagina che sia un numero che tu non conosci espliticitamente.
Un'altra cosa: vedendo che nel caso [tex]h\neq 2[/tex] nella soluzione viene un [tex]h+ 2[/tex] a denominatore, mi stranisco. Infatti questo si annulla per [tex]h=- 2[/tex], che è un valore che $h$ potrebbe benissimo assumere in questo caso... potrebbe essere che tu abbia fatto qualche errore di calcolo, ricontrolla magari.
Sull'ultima domanda, non so cosa intendi per elemento speciale. Se riduci una matrice a scalini, puoi usare qualunque elemento come pivot, se è questo che intendi.
Paola
Per [tex]h\neq 2[/tex] la soluzione è un unico vettore, [tex]\displaystyle (\frac{h}{h+2},0\frac{2}{-(h+2)})[/tex]. Non puoi sostituire un qualunque valore ad $h$, è concettualmente sbagliato. $h$ è un parametro fisso, immagina che sia un numero che tu non conosci espliticitamente.
Un'altra cosa: vedendo che nel caso [tex]h\neq 2[/tex] nella soluzione viene un [tex]h+ 2[/tex] a denominatore, mi stranisco. Infatti questo si annulla per [tex]h=- 2[/tex], che è un valore che $h$ potrebbe benissimo assumere in questo caso... potrebbe essere che tu abbia fatto qualche errore di calcolo, ricontrolla magari.
Sull'ultima domanda, non so cosa intendi per elemento speciale. Se riduci una matrice a scalini, puoi usare qualunque elemento come pivot, se è questo che intendi.
Paola
Ah ok ho capito grazie mille 
Quanto al secondo pezzo allora sbaglio perchè semplicemente non posso mettere h in evidenza lascio il vettore così come lo trovo, si avrò fatto sicuramente un errore nella risoluzione, ricontrollerò. L' elemento speciale è l' elemento che in una riga non contiene nessun altro valore al di sotto di sè, ma solo 0.
Comunque fra poco forse posterò un esercizio simile...per avere ulteriore conferma.
Quanto al secondo pezzo allora sbaglio perchè semplicemente non posso mettere h in evidenza lascio il vettore così come lo trovo, si avrò fatto sicuramente un errore nella risoluzione, ricontrollerò. L' elemento speciale è l' elemento che in una riga non contiene nessun altro valore al di sotto di sè, ma solo 0.
Comunque fra poco forse posterò un esercizio simile...per avere ulteriore conferma.
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