Problema su applicazioni lineari

[cidrolin]

Buonasera,
Il problema riguarda un quesito di un test:
Sia v lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficienti reali. Sia poi
g: V->V l'endomorfismo tale che
$g(1) = x-1, g(x) = x^2, g(x^2) = 1-x$
Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni è vera:

A) g muta basi in basi
B) $g^-1(3+x) = 0$, ove 0 denota l'insieme vuoto
C) g è iniettivo
D)$g^-1(3-3x) = 0$, ove 0 denota l'insieme vuoto

La mia soluzione:
A) falsa perché $g(1), g(x), g(x^2)$ non sono una base.
B) falsa perché:
indico con $v=a+bx+cx^2$ il generico vettore del dominio$\Rightarrow$ $g(v)=3+x$ posso scrivere
$g(v) = ag(1)+bg(x)+cg(x^2)$ per la linearità dell'applicazione g. Sostituendo ottengo:
$a(x-1)+bx^2+c(1-x) = 3-x$ e svolgendo i calcoli:
$c-a+(a-c)x+bx^2 = 3-x$ per cui dovrei risolvere il sistema:
${(c-a=3),(a-c=1),(b=0):}$ $\Rightarrow$ impossibile
C) falsa perché per essere iniettivo deve essere $ker(g) = 0$:
considero $v=a+bx+cx^2$ e calcolo $g(v)=0$ cioè $ag(1)+bg(x)+cg(x^2)=0$ che porta a risolvere il sistema:
${(c-a=0),(a-c=0),(b=0):}$ la cui soluzione è ${(a=c),(b=0),(c=c):}$ quindi $ker(g) = < 1+x^2>$
D) falsa perché analogamente a quanto fatto nel punto B) trovo:
$g(v)=(c-a)+(a-c)x+bx^2=3-3x$ che porta a risolvere il sistema:
${(c-a=3),(a-c=-3),(b=0):}$ la cui soluzione è ${(c=a-3),(b=0):}$

Dove ho sbagliato dal momento che almeno una delle affermazioni deve essere vera?
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Più sinteticamente, sapendo che:

$rango[[-1,0,1],[1,0,-1],[0,1,0]]=2$

B) vera se e solo se:

$rango[[-1,0,1,3],[1,0,-1,1],[0,1,0,0]]=3$

D) vera se e solo se:

$rango[[-1,0,1,3],[1,0,-1,-3],[0,1,0,0]]=3$

A questo punto, basta calcolare il determinante del minore $3xx3$ formato dalle ultime tre colonne per rendersi conto che B) è vera e D) è falsa.

[cidrolin]

Capito! Grazie mille