Problema strano!

[nochipfritz]

Ciao Gente,
vediamo se qualcuno può aiutarmi in questo problema.

Indichiamo con $d_n$ = minimo_comune_multiplo$(1, 2, ...., n)$
So per certo che

$n ((2n),(n)) | d_{2n+1}$

e che

$(2n+1) ((2n),(n)) |d_{2n+1}$.
Ovvimente si deduce che $n | d_{2n+1}$ , $(2n+1) | d_{2n+1}$ e $((2n),(n)) | d_{2n+1}$

Ma posso dire che $ n (2n+1) ((2n),(n)) | d_{2n+1} $ ? Enventualmente come si dimostra?

PS. Ho letto questa cosa in un paper giapponese...ma chiaramente non ho capito nulla. Ho tradotto grazie ai simboli matematici...

[Thomas16]

prova a vedere se:

$(n,2n+1)=1$

$(n,((2n),(n)))=1$

(quelli sono i max comuni divisori)

se questo è vero la tesi dovrebbe seguire facilmente...

ps: vado di frettissima....

[nochipfritz]

Scusa Thomas....forse il trucco della dimostrazione consiste nel far notare che $(n,2n+1) = 1$. Infatti risulta difficile calcolare il massimo comune divisore dove compare il coefficiente binomiale. Ma dal momento che $ ((2n),(n)) | d_{2n+1} $ possiamo dire che :

$n | \frac{d_{2n+1}}{((2n),(n))}$ e che
$(2n+1) | \frac{d_{2n+1}}{((2n),(n))}$.

Se io dimostro che $(n, (2n+1))=1$ allora ho che
$n(2n+1) | \frac{d_{2n+1}}{((2n),(n))} $

da cui segue :
$n(2n+1)((2n),(n)) | d_{2n+1}$.

Secondo te questo ragionamento funziona????

Inoltre so dimostrare che $(n,2n+1) = 1$. Mi dici dove posso trovare la dimostrazione del teorema

"se $a|c$ , $b|c$ e $ (a,b) = 1$ allora $ab | c$".

[Thomas16]

te l'ho detto che andavo di fretta ... in effetti è anche falso quanto dicevo sul binomiale, anzi quasi sicuramente era falso visto che nella fretta non avevo utilizzato tutte le ipotesi ...

si mi pare fili il ragionamento....
per la dimostrazione dell'ultimo fatto, basta usare l'unicità della scomposizione di a,b e c in fattori primi. Il fatto che un numero divida un altro vuol dire che i fattori primi dell'uno sono inclusi nell'altro (con esponente inferiore) e la coprimalità indica la non condivisione di fattori primi... a te le conclusione..