Problema Sottoinsieme Linearmente Dipendente
Sera ragazzi, mi si è presentato oggi il seguente esercizio:
In $R_2[x]$ determinare quali dei seguenti sottoinsiemi sono linearmente dipendenti, e se lo sono scrivere uno dei vettori come combinazione lineare dei rimanenti:
1)$ {x,3+x^2,x+2x^2} $;
2)${-2+x,3+x,1+x^2} $ ;
3) ${-5+x+3x^2,13+x,1+x+2x^2} $
Per verificare che siano linearmente dipendenti ho pensato di scrivere il sottoinsieme , prendiamo ad esempio l'1) , in questa maniera:
$ \lambda_1 x + \lambda_2 (3+x^2) + \lambda_3 (x+2x^2)=0 $ e nel caso in cui uno dei tre coefficienti sia $\lambda !=0$ allora ho trovato che è linearmente dipendenti .
Siete d'accordo con questo procedimento?
grazie a coloro che mi risponderanno!
In $R_2[x]$ determinare quali dei seguenti sottoinsiemi sono linearmente dipendenti, e se lo sono scrivere uno dei vettori come combinazione lineare dei rimanenti:
1)$ {x,3+x^2,x+2x^2} $;
2)${-2+x,3+x,1+x^2} $ ;
3) ${-5+x+3x^2,13+x,1+x+2x^2} $
Per verificare che siano linearmente dipendenti ho pensato di scrivere il sottoinsieme , prendiamo ad esempio l'1) , in questa maniera:
$ \lambda_1 x + \lambda_2 (3+x^2) + \lambda_3 (x+2x^2)=0 $ e nel caso in cui uno dei tre coefficienti sia $\lambda !=0$ allora ho trovato che è linearmente dipendenti .
Siete d'accordo con questo procedimento?
grazie a coloro che mi risponderanno!
Risposte
In questi casi il trucco è scrivere la combinazione lineare di quei vettori come una combinazione lineare della base canonica (che quindi ha coefficienti $0$). Esplicita i prodotti e raccogli. Poi risolvi il sistema in cui poni i coefficienti ottenuti uguali a $0$.
Ok quindi considero una base $B=(1,x,x^2)$ tale che :
caso 1) $x=(0,1,0)$ , $ 3+x^2=(3,0,1) $ , $ x+2x^2=(0,1,2) $ . Fatto ciò, devo verificare che siano linearmente dipendenti allora pongo tale condizione : $ \lambda_1(0,1,0)+\lambda_2(3,0,1)+\lambda_3(0,1,2) =(0,0,0) $. Successivamente, mi ricavo il sistema e la matrice dei coefficienti (se rank(A)=3 o det(A)$!=0$ allora i vettori sono linearmente indipendenti ) . Lo stesso metodo lo rifarei per i casi 2) e 3), sei d'accordo?
grazie mille e buona serata!
caso 1) $x=(0,1,0)$ , $ 3+x^2=(3,0,1) $ , $ x+2x^2=(0,1,2) $ . Fatto ciò, devo verificare che siano linearmente dipendenti allora pongo tale condizione : $ \lambda_1(0,1,0)+\lambda_2(3,0,1)+\lambda_3(0,1,2) =(0,0,0) $. Successivamente, mi ricavo il sistema e la matrice dei coefficienti (se rank(A)=3 o det(A)$!=0$ allora i vettori sono linearmente indipendenti ) . Lo stesso metodo lo rifarei per i casi 2) e 3), sei d'accordo?
grazie mille e buona serata!
Nessuno che possa aiutarmi?
"Dave95":
considero una base $B=(1,x,x^2)$ tale che:
caso 1)
$x=(0,1,0)$ , $ 3+x^2=(3,0,1) $ , $ x+2x^2=(0,1,2) $ .
Fatto ciò, devo verificare che siano linearmente dipendenti allora pongo tale condizione :
$ \lambda_1((0),(1),(0))+\lambda_2((3),(0),(1))+\lambda_3((0),(1),(2)) =((0),(0),(0)) $.
Successivamente,mi ricavo il sistema e la matrice dei coefficienti
(se rank(A)=3 o det(A)$!=0$ allora i vettori sono linearmente indipendenti ) .
Lo stesso metodo lo rifarei per i casi 2) e 3), sei d'accordo?
Se devi solo dire se sono dipendenti o meno non c'è bisogno di impostare il sistema (non ti interessa trovare i valori degli scalari $lambda_i$).
Basta solo che ti trovi le componenti dei vettori rispetto alla base canonica e le metti in riga/colonna:
$A=((0,1,0), (3,0,1),(0,1,2)) $
se $r(A)=3 hArr det(A)ne0$ allora i vettori saranno indipendenti,
se invece $r(A)<3 hArr det(A)=0$ allora i vettori saranno dipendenti.
N.B. il fatto che le condizioni sono equivalenti, ti permette di poter calcolare o il rango o il determinante (cioè non è necessario che li calcoli entrambi).
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