Problema risoluzione matrici simili

[pepposs]

ciao a tutti volevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi nella risoluzioni di matrici simili di questo tipo :

A=$((3,1,1),(0,3,1),(0,0,3))$ B=$((3,1,2),(0,3,1),(0,0,3))$
riscontro problemi nel trovare la matrice M,cioè utilizzando la solita formula M*A=M*B poi mi viene difficoltoso fare il sistema a 9 incognite perchè vengono due matrici quasi identiche cioè :
A=$((3a,a+3b,a+b+3c),(3d,d+3e,d+e+3f),(3g,g+3h,g+h+3i))$ B=$((3a,a+3b,2a+b+3c),(3d,d+3e,2d+e+3f),(3g,g+3h,2g+h+3i))$
come notate non cambia quasi niente quindi come risultato del sistema mi viene che tutte le incognite vengono 0... aspetto vostre notizie

[peppe1992-votailprof]

Rifai il sistema dovrebbe venirti

a=d=g=0

e quindi tutti gli altri sono parametri liberi
ti rimane questa matrice (non ne sono sicuro aspettiamo che risponda qualcun altro)

$ ( ( 0 , b , c ),( 0 , e , f ),( 0 , h , i ) ) $

[pepposs]

e poi ai parametri liberi che valore dò ?

[peppe1992-votailprof]

aspetta la risposta di qualcun'altro ho anch'io lo stesso problema
Nel caso dovessi risolvere prima scrivi la soluzione così è utile anche per me? Ti ringrazio!
Ciao

[Maci86]

Cosa vuol dire "risoluzione di matrici simili"?

[pepposs]

hai ragione... il titolo è sbagliato , l'esercizio ti da le due matrici iniziali e ti chiede di dimostrare tramite la formula $ A=M^1*B*M$ che queste due matrici siano simili

[Maci86]

Ah, ok, ora mi è più chiaro
Beh, diagonalizziamole
$det(X-A)= |(x-3,-1,-1),(0,x-3,-1),(0,0,x-3)|=(x-3)^3$
Troviamoci gli autovettori:
$A-3=((0,1,1),(0,0,1),(0,0,0))$ , $(A-3)^2=((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$ , $(A-3)^3=0$
Prendiamo come vettore per esempio
$v_1= ((0),(0),(1))$ , $v_2=(A-3)v_1=((1),(1),(0))$ , $v_3=(A-3)^2v_1=((1),(0),(0))$
Quindi la matrice di cambiamento di $A$ è:
$M_A=((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Per $B$:
$det(X-B)= |(x-3,-1,-2),(0,x-3,-1),(0,0,x-3)|=(x-3)^3$
Troviamoci gli autovettori:
$A-3=((0,1,2),(0,0,1),(0,0,0))$ , $(A-3)^2=((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$ , $(A-3)^3=0$
Prendiamo come vettore per esempio
$v_1= ((0),(0),(1))$ , $v_2=(A-3)v_1=((2),(1),(0))$ , $v_3=(A-3)^2v_1=((1),(0),(0))$
Quindi la matrice di cambiamento di $B$ è:
$M_B=((1,2,0),(0,1,0),(0,0,1))$
So che:
$A*M_A=M_A J$
$B*M_B=M_B J$
Quindi:
$B= M_B M_A A M_A^-1 M_B^-1= (M_B M_A) A (M_B M_A)^-1$
A te il resto dei conti

[pepposs]

grazie mille !!!!! più tardi lo rifaccio cosi allora

[pepposs]

ho provato a farlo con questo metodo ma mi esce fuori questa matrice dopo tutti i calcoli $((3,19,8),(0,3,1),(0,0,3))$ quindi non mi viene uguale a B

[Maci86]

Direi alquanto improbabile, dai un occhio se ho sbagliato i miei calcoli..

Ho scritto un conto al contrario
$B= M_B M_A^-1 A M_A M_B^-1= (M_B M_A^-1) A (M_B M_A^-1)^-1$

[pepposs]

facendo come dici tu viene : B= $ ((3,1,1),(0,3,1),(0,0,3)) $ quindi viene uguale ad A e non a B :S

[Maci86]

Dovrebbe venire giusto, l'idea è quella corretta, magari ho sbagliato i conti, provo io
$M_A=((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$
$M_B=((1,2,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Prima cosa, vediamo se è vero:
$A= M_A J M_A^-1=((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))((3,1,0),(0,3,1),(0,0,3))((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1))=((3,4,1),(0,3,1),(0,0,3))((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1))=((3,1,1),(0,3,1),(0,0,3))$
$B= M_B J M_B^-1=((1,2,0),(0,1,0),(0,0,1))((3,1,0),(0,3,1),(0,0,3))((1,-2,0),(0,1,0),(0,0,1))=((3,7,2),(0,3,1),(0,0,3))((1,-2,0),(0,1,0),(0,0,1))=((3,1,2),(0,3,1),(0,0,3))$
Bene ora abbiamo che:
$B= M_B (M_A^-1 A M_A) M_B^-1=((1,2,0),(0,1,0),(0,0,1))(((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1))((3,1,1),(0,3,1),(0,0,3))((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)))((1,-2,0),(0,1,0),(0,0,1))=$
$=((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))((3,1,1),(0,3,1),(0,0,3))((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1))=((3,4,2),(0,3,1),(0,0,3))((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1))=((3,1,2),(0,3,1),(0,0,3))$
Viene!

[pepposs]

sai invece che facevo io, l'ultima parte cioè : $ ((3,4,2),(0,3,1),(0,0,3)) ((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)) $ la facevo al contrario cioè $ ((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)) ((3,4,2),(0,3,1),(0,0,3)) $ sempre righe per colonne e viene uguale a A ...

[Maci86]

Eh sì
Stai attento, è un attimo confondersi..