Problema riduzione a forma canonica di una conica
Salve avevo un problema nel secondo passo della riduzione a forma canonica ovvero il passaggio da effettuare per far combaciare il centro di simmetria con l'origine degli assi.
Allora partendo dalla equazione di una conica:
\(\displaystyle ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f=0 \)
Diagonalizzo la matrice dei coefficienti dei termini quadratici e ottengo due autovalori (se ho una parabola uno dei due è nullo) quindi annullo il termine 2bxy
E la mia equazione si riduce a
\(\displaystyle \lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 + 2dx + 2ey + f=0 \)
Adesso la forma canonica dovrebbe essere \(\displaystyle \lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 + \lambda_3=0 \)dove \(\displaystyle \lambda_3 \) è dato dal rapporto dell'invariante cubico e l'invariante quadratico
Se invece ho una parabola la forma canonica diventa \(\displaystyle \lambda_1x^2 +2\lambda_3y=0 \) dove \(\displaystyle \lambda_3 \) è piu o meno la radice in valore assoluto del rapporto tra l'invariante cubico e l'invariante lineare=\(\displaystyle \lambda_1 \)
Quello che mi chiedo io è .. come ho fatto ad eliminare \(\displaystyle ..2dx + 2ey + f \) ??
Allora partendo dalla equazione di una conica:
\(\displaystyle ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f=0 \)
Diagonalizzo la matrice dei coefficienti dei termini quadratici e ottengo due autovalori (se ho una parabola uno dei due è nullo) quindi annullo il termine 2bxy
E la mia equazione si riduce a
\(\displaystyle \lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 + 2dx + 2ey + f=0 \)
Adesso la forma canonica dovrebbe essere \(\displaystyle \lambda_1x^2 + \lambda_2y^2 + \lambda_3=0 \)dove \(\displaystyle \lambda_3 \) è dato dal rapporto dell'invariante cubico e l'invariante quadratico
Se invece ho una parabola la forma canonica diventa \(\displaystyle \lambda_1x^2 +2\lambda_3y=0 \) dove \(\displaystyle \lambda_3 \) è piu o meno la radice in valore assoluto del rapporto tra l'invariante cubico e l'invariante lineare=\(\displaystyle \lambda_1 \)
Quello che mi chiedo io è .. come ho fatto ad eliminare \(\displaystyle ..2dx + 2ey + f \) ??
Risposte
Up!
Up!
Premetto che non mi intendo di queste cose, ma a quanto ne so i termini di primo grado indicano una traslazione e quindi, se non ricordo male, facendo il completamento del quadrato con i termini di secondo grado ti trovi una cosa del tipo
\[
(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 + \gamma = 0
\]
A questo punto fai il cambio di variabili
\[
X = x -\alpha \qquad \qquad Y = y-\beta
\]
ed ecco che ti sei liberato dei termini lineari.
\[
(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 + \gamma = 0
\]
A questo punto fai il cambio di variabili
\[
X = x -\alpha \qquad \qquad Y = y-\beta
\]
ed ecco che ti sei liberato dei termini lineari.
e alfa beta e gamma cosa rappresenterebbero ?
Sono numeri che cambiano di volta in volta, coefficienti normalissimi!
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