Problema retta nello spazio
Scrivere le equazioni della retta passante per $A(2,7,2)$, incidente $r:\{(2x + 2y + 3z -6=0),(4y - 3z -4= 0):}$ ed ortogonale alla retta $s:\{(2x + y - 3z -5=0),(x +3y+z= 0):}$.
Ho bisogno di qualche consiglio su come ragionare su questo tipo di esercizio. Sto provando a risolverlo ma vado piu a tentativi e non riesco a trovare un ragionamento che mi sembra logico.
Ho bisogno di qualche consiglio su come ragionare su questo tipo di esercizio. Sto provando a risolverlo ma vado piu a tentativi e non riesco a trovare un ragionamento che mi sembra logico.
Risposte
Credo di aver risolto l'esercizio anche se ho alcuni dubbi, chiedo conferma a voi:
Se due rette sono incidenti devono essere per forza di cose complanari, quindi anche il punto A appartiene allo stesso piano, riscrivendo la retta $r$ in forma parametrica ottengo $r:\{(x=3-3t),(y=0+t),(z=0+4/3 t):}$ quindi ottengo il vettore $\vec r (-3,1,4/3)$ o per semplicità $\vec r (-9,3,4)$ ed il punto $R(3,0,0)$ a questo punto posso trovare il piano che contiene la retta che sto cercando sapendo che individuo un piano attraverso un punto e due vettori tra loro non paralleli, quindi $\sigma:\{(x=2+3\lambda-\mu),(y=7+7\mu),(z= 2+2\mu):}$ che portato in forma cartesiana sarebbe $\sigma : 2y-7z=0$ che ha normale $\vec n (0,2,-7)$. Ora verifico se la retta $s:\{(x=0+t),(y=1/2-1/2t),(z=-3/2+1/2t):}$ appartiene allo stesso piano, sostituendo le variabili $y,z$ della retta $s$ nell'equazione del piano, ottengo che la retta interseca il piano in un punto $P$ questo significa che $s notin \sigma$ quindi se deve formare un angolo di $90°$ con la retta che sto cercando la direzione di $s$ deve essere uguale a meno di una costante diversa da 0 alla normale del piano, cosa che non avviene perchè $\vec s (2,-1,1)$ e $\vec n (0,2,-7)$ . Dopo questo procedimento giungo alla conclusione che la retta che sto cercando non esiste.
Potete dirmi se è effettivamente questo il risultato del problema? Grazie mille.
Se due rette sono incidenti devono essere per forza di cose complanari, quindi anche il punto A appartiene allo stesso piano, riscrivendo la retta $r$ in forma parametrica ottengo $r:\{(x=3-3t),(y=0+t),(z=0+4/3 t):}$ quindi ottengo il vettore $\vec r (-3,1,4/3)$ o per semplicità $\vec r (-9,3,4)$ ed il punto $R(3,0,0)$ a questo punto posso trovare il piano che contiene la retta che sto cercando sapendo che individuo un piano attraverso un punto e due vettori tra loro non paralleli, quindi $\sigma:\{(x=2+3\lambda-\mu),(y=7+7\mu),(z= 2+2\mu):}$ che portato in forma cartesiana sarebbe $\sigma : 2y-7z=0$ che ha normale $\vec n (0,2,-7)$. Ora verifico se la retta $s:\{(x=0+t),(y=1/2-1/2t),(z=-3/2+1/2t):}$ appartiene allo stesso piano, sostituendo le variabili $y,z$ della retta $s$ nell'equazione del piano, ottengo che la retta interseca il piano in un punto $P$ questo significa che $s notin \sigma$ quindi se deve formare un angolo di $90°$ con la retta che sto cercando la direzione di $s$ deve essere uguale a meno di una costante diversa da 0 alla normale del piano, cosa che non avviene perchè $\vec s (2,-1,1)$ e $\vec n (0,2,-7)$ . Dopo questo procedimento giungo alla conclusione che la retta che sto cercando non esiste.
Potete dirmi se è effettivamente questo il risultato del problema? Grazie mille.
Io direi che le sole condizioni:
la retta cercata deve passare per A,
la retta cercata deve essere ortogonale a $s$;
già identificano un'unica retta.
la retta cercata deve passare per A,
la retta cercata deve essere ortogonale a $s$;
già identificano un'unica retta.
"dissonance":
Io direi che le sole condizioni:
la retta cercata deve passare per A,
la retta cercata deve essere ortogonale a $s$;
già identificano un'unica retta.
non riesco a capire perchè
, o meglio intuitivamente forse ci posso arrivare, però non so come trovare tale retta...
"orphen86":
[quote="dissonance"]Io direi che le sole condizioni:
la retta cercata deve passare per A,
la retta cercata deve essere ortogonale a $s$;
già identificano un'unica retta.
non riesco a capire perchè
, o meglio intuitivamente forse ci posso arrivare, però non so come trovare tale retta...[/quote]no, come non detto...non sono convinto della tua affermazione
, sarei daccordo con te se si parlasse di geometria piana, ma nello spazio non sono convinto
dici che non è vero? hmm... mi fai venire il dubbio che tu abbia ragione...
Comunque il mio ragionamento è stato questo:
la retta che cerchiamo deve necessariamente appartenere ad un piano, quello di giacitura ortogonale a $s$ e passante per $A$;
sicuramente (Grassmann affine) questo piano e $s$ si incontrano in un solo punto, diciamo $P$ diverso da $A$;
la retta passante per $P$ e per $A$ è quella che ci serve.
Fila?
Comunque il mio ragionamento è stato questo:
la retta che cerchiamo deve necessariamente appartenere ad un piano, quello di giacitura ortogonale a $s$ e passante per $A$;
sicuramente (Grassmann affine) questo piano e $s$ si incontrano in un solo punto, diciamo $P$ diverso da $A$;
la retta passante per $P$ e per $A$ è quella che ci serve.
Fila?
un dubbio, due rette ortogonali devono per forza incontrarsi in un punto?due rette sghembe non possono essere ortogonali tra loro?l'ortogonalità credo la si studi dalle loro direzioni
Ecco l'inghippo! E hai ragione. Dipende da come uno definisce il concetto di retta ortogonale. Io stavo dando per scontato che la nostra retta ortogonale dovesse intersecare $s$ in un punto.
Se questa cosa salta, io comunque farei così:
1)prendo il piano ortogonale ad $s$ e passante per A;
2)in questo piano, considero il fascio di rette di centro A;
3)in questo fascio di rette impongo la condizione di incidenza con $r$.
Che è diverso da quello che hai fatto tu solo perché parte dal piano ortogonale ad $s$ anziché dall'incidenza con $r$.
Se questa cosa salta, io comunque farei così:
1)prendo il piano ortogonale ad $s$ e passante per A;
2)in questo piano, considero il fascio di rette di centro A;
3)in questo fascio di rette impongo la condizione di incidenza con $r$.
Che è diverso da quello che hai fatto tu solo perché parte dal piano ortogonale ad $s$ anziché dall'incidenza con $r$.
"dissonance":
Ecco l'inghippo! E hai ragione. Dipende da come uno definisce il concetto di retta ortogonale. Io stavo dando per scontato che la nostra retta ortogonale dovesse intersecare $s$ in un punto.
Se questa cosa salta, io comunque farei così:
1)prendo il piano ortogonale ad $s$ e passante per A;
2)in questo piano, considero il fascio di rette di centro A;
3)in questo fascio di rette impongo la condizione di incidenza con $r$.
Che è diverso da quello che hai fatto tu solo perché parte dal piano ortogonale ad $s$ anziché dall'incidenza con $r$.
Se è come dici tu mi blocco ancora prima di fare l'incidenza con r, questo perchè per incidere due rette devono essere complanari, quindi se la retta r non sta sul piano trovato con il punto 1) vuol dire che non ho possibilità di trovare l'intersezione tra r e la retta cercata...
(edit) no mi correggo...forse c'è il modo...devo scrivere e ora son stancoXD
no no c'è il modo... è vero che le rette devono essere complanari ma non per forza devono stare nel piano ortogonale a $s$. sinceramente sono stanco anche io e non mi va proprio di fare i calcoli! ma penso che l'impostazione sia giusta...penso... 
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