Problema piano perpendicolare a retta
Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo problema ma nessuna delle soluzioni proposte la soddisfa
Traccia: Fissato nello spazio un riferimento metrico si stabilisca tra i piani elencati quello perpendicolare alla retta di equazioni:
$r={(x - y = 1),(y - z = 0):}$
Le soluzioni sono:
a)$x + y - 1 = 0$
b)$x - y + z + 1 = 0$
c)$x + y + z + 1 = 0$
d)$x - y - z = 0$
dunque io ricavo il vettore della retta r che risulta essere $v = (1, 1, 1)$
chiamo il vettore del piano $n$, ortogonale al piano, dopodiche faccio il prodotto scalare tra il vettore $v$ ed $n$
$v * n = 0$
il punto è che nessun vettore del piano soddisfa l'equazione, o sbaglio qualcosa?
grazie in anticipo per le risposte
Traccia: Fissato nello spazio un riferimento metrico si stabilisca tra i piani elencati quello perpendicolare alla retta di equazioni:
$r={(x - y = 1),(y - z = 0):}$
Le soluzioni sono:
a)$x + y - 1 = 0$
b)$x - y + z + 1 = 0$
c)$x + y + z + 1 = 0$
d)$x - y - z = 0$
dunque io ricavo il vettore della retta r che risulta essere $v = (1, 1, 1)$
chiamo il vettore del piano $n$, ortogonale al piano, dopodiche faccio il prodotto scalare tra il vettore $v$ ed $n$
$v * n = 0$
il punto è che nessun vettore del piano soddisfa l'equazione, o sbaglio qualcosa?
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Il piano da te cercato deve avere $ L(\mathbf{v})^{\bot} $ come giacitura.
Come calcoli $ L(\mathbf{v})^{\bot} $?
Come calcoli $ L(\mathbf{v})^{\bot} $?
ciao, grazie della risposta Riccardo
io ho sempre risolto questi esercizi trovando il vettore di un piano [es. del piano nella soluzione a) il vettore dovrebbe essere $(1, 1, 0)$]
quindi moltiplico: $v * n$ e dovrebbe darmi 0 se sono ortogonali [es. $(1, 1, 1) * (1, 1, 0)^T = 0$]
cosa è la giacitura di un piano? perdona la mia ignoranza
grazie
io ho sempre risolto questi esercizi trovando il vettore di un piano [es. del piano nella soluzione a) il vettore dovrebbe essere $(1, 1, 0)$]
quindi moltiplico: $v * n$ e dovrebbe darmi 0 se sono ortogonali [es. $(1, 1, 1) * (1, 1, 0)^T = 0$]
cosa è la giacitura di un piano? perdona la mia ignoranza
grazie
Il vettore di componenti $ (1,1,0) $ non è ortogonale al vettore $ \mathbf{v} $ che dà la direzione alla retta, infatti:
$ ((1,1,1))((1),(1),(0)) = 2 \ne 0 $
Inoltre, per individuare tutti i vettori che generano il piano, ti servono due vettori linearmente indipendenti; tali vettori costituiscono una base della giacitura del piano, cioè del suo sottospazio vettoriale associato.
In questo caso la giacitura del piano la conosciamo: non si tratta nient'altro che del complemento ortogonale di $ L(\mathbf{v}) $. Calcoliamola:
$ L(\mathbf{v})^{\bot} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : ((x,y,z))((1),(1),(1)) = 0 \} $
Quindi la giacitura del piano è
$ L(\mathbf{v})^{\bot} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+y+z=0 \} $
e la risposta corretta è la c), dato che il piano di equazione $ x+y+z+1=0 $ è l'unico che ha giacitura $ L(\mathbf{v})^{\bot} $.
$ ((1,1,1))((1),(1),(0)) = 2 \ne 0 $
Inoltre, per individuare tutti i vettori che generano il piano, ti servono due vettori linearmente indipendenti; tali vettori costituiscono una base della giacitura del piano, cioè del suo sottospazio vettoriale associato.
In questo caso la giacitura del piano la conosciamo: non si tratta nient'altro che del complemento ortogonale di $ L(\mathbf{v}) $. Calcoliamola:
$ L(\mathbf{v})^{\bot} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : ((x,y,z))((1),(1),(1)) = 0 \} $
Quindi la giacitura del piano è
$ L(\mathbf{v})^{\bot} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+y+z=0 \} $
e la risposta corretta è la c), dato che il piano di equazione $ x+y+z+1=0 $ è l'unico che ha giacitura $ L(\mathbf{v})^{\bot} $.
ho capito finalmente. grazie mille per la risposta, precisa e dettagliata, Riccardo
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