Problema piani paralleli e sfera
Ciao a tutti!
Ho un problema di geometria da risolvere che mi perseguita e non riesco a risolverlo.
Questo è il testo:
"Nello spazio euclideo $E_3(R)$ in cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano si considerino il punto C = (1; 0; 2) ed il piano $\pi$: $x - 2y + 2z - 3 = 0$. Si determinino:
1) una rappresentazione cartesiana della sfera $\epsilon$ di centro C tangente a $\pi$
(questo sono riuscito a farlo e la sfera risulta: $\epsilon$: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z + 1 = 0$
2) le equazioni cartesiane dei due piani paralleli a $\pi$ che individuano su $\epsilon$ una circonferenza di raggio $2sqrt(5)/3$
Questo secondo punto non riesco a farlo! Avete qualche consiglio?
Grazie mille
Buon anno a tutti!
Ciaoo
Ho un problema di geometria da risolvere che mi perseguita e non riesco a risolverlo.
Questo è il testo:
"Nello spazio euclideo $E_3(R)$ in cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano si considerino il punto C = (1; 0; 2) ed il piano $\pi$: $x - 2y + 2z - 3 = 0$. Si determinino:
1) una rappresentazione cartesiana della sfera $\epsilon$ di centro C tangente a $\pi$
(questo sono riuscito a farlo e la sfera risulta: $\epsilon$: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z + 1 = 0$
2) le equazioni cartesiane dei due piani paralleli a $\pi$ che individuano su $\epsilon$ una circonferenza di raggio $2sqrt(5)/3$
Questo secondo punto non riesco a farlo! Avete qualche consiglio?
Grazie mille
Buon anno a tutti!
Ciaoo
Risposte
Puoi risolvere l'esercizio utilizzando le considerazioni presenti in questa discussione:
determinare-eq-sfere-t86738.html
determinare-eq-sfere-t86738.html
Ciao!
Io ho provato a fare così:
1) Mi sono fatto il fascio di piani partendo da quello che mi davano (il fascio diventa: $\pi$: $x−2y+2z−k=0$
2) Ora faccio la distanza centro - piano usando l'apposita formula:
$|ax+by+cz+d |/sqrt (a^2+b^2+c^2)=0$
e quindi inserendo i miei dati diventa: $|1*1-2*0+2*2-k|/sqrt (1^2-2^2+2^2)=0$
ovvero: $5-k/3=0$
3) Adesso impongo che questa distanza sia uguale al raggio del problema..
$5-k/3=(2/3)sqrt5$ da cui ottengo.. $k=5-2sqrt5$
4) Sostituisco il $5-2sqrt5$ all'interno del mio fascio e dovrei ottenere il piano.. ma non è così in quanto il risultato contiene due piani con due numeri diversi.. queste sono le equazioni
$\pi_1$$: x-2y+2z+7$
$\pi_2$$: x - 2y + 2z - 1$
Dove sbaglio??
Grazie mille
Ciaoo!
Io ho provato a fare così:
1) Mi sono fatto il fascio di piani partendo da quello che mi davano (il fascio diventa: $\pi$: $x−2y+2z−k=0$
2) Ora faccio la distanza centro - piano usando l'apposita formula:
$|ax+by+cz+d |/sqrt (a^2+b^2+c^2)=0$
e quindi inserendo i miei dati diventa: $|1*1-2*0+2*2-k|/sqrt (1^2-2^2+2^2)=0$
ovvero: $5-k/3=0$
3) Adesso impongo che questa distanza sia uguale al raggio del problema..
$5-k/3=(2/3)sqrt5$ da cui ottengo.. $k=5-2sqrt5$
4) Sostituisco il $5-2sqrt5$ all'interno del mio fascio e dovrei ottenere il piano.. ma non è così in quanto il risultato contiene due piani con due numeri diversi.. queste sono le equazioni
$\pi_1$$: x-2y+2z+7$
$\pi_2$$: x - 2y + 2z - 1$
Dove sbaglio??
Grazie mille
Ciaoo!
Indicando con $[R]$ il raggio della sfera e con $[r]$ il raggio della circonferenza, devi imporre $[d=sqrt(R^2-r^2)]$. Se abbozzi una figura, dovresti comprendere questa condizione costruendo un triangolo rettangolo di ipotenusa $[R]$, cateti $[r]$ e $[d]$.
Ciao!
Ho provato ma non riesco a capire come fare! Non è che saresti così gentile da risolvermelo??
Mi sono fatto il disegno ecc ma non capisco come faccio a ricavare le equazioni dei piani!
Grazie
Ciaoo!
Ho provato ma non riesco a capire come fare! Non è che saresti così gentile da risolvermelo??
Mi sono fatto il disegno ecc ma non capisco come faccio a ricavare le equazioni dei piani!
Grazie
Ciaoo!
Hai fatto diversi errori e un bel po' di confusione.
Sfera: $[x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0] rarr [C(1,0,-2)] ^^ [R=2]$
Fascio di piani paralleli: $[x−2y+2z+k=0]$
Distanza: $[d=sqrt(R^2-r^2)] rarr [d=sqrt(4-20/9)] rarr [d=4/3]$
Condizione: $[|1-4+k|/sqrt (1+4+4)=4/3] rarr [|k-3|/3=4/3] rarr [k-3=+-4] rarr [k=-1] vv [k=7]$
Soluzione: $[x−2y+2z-1=0] vv [x−2y+2z+7=0]$
Sfera: $[x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0] rarr [C(1,0,-2)] ^^ [R=2]$
Fascio di piani paralleli: $[x−2y+2z+k=0]$
Distanza: $[d=sqrt(R^2-r^2)] rarr [d=sqrt(4-20/9)] rarr [d=4/3]$
Condizione: $[|1-4+k|/sqrt (1+4+4)=4/3] rarr [|k-3|/3=4/3] rarr [k-3=+-4] rarr [k=-1] vv [k=7]$
Soluzione: $[x−2y+2z-1=0] vv [x−2y+2z+7=0]$
Perfetto grazie mille!
Avevo sbagliato ad utilizzare il raggio della circonferenza.. e quindi mi risultava sempre un piano diverso!
Poi non avevo messo il $+$ e $-$ e quindi ottenevo sempre un solo piano!
Grazie ancora!
Ciaoo
Avevo sbagliato ad utilizzare il raggio della circonferenza.. e quindi mi risultava sempre un piano diverso!
Poi non avevo messo il $+$ e $-$ e quindi ottenevo sempre un solo piano!
Grazie ancora!
Ciaoo
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