Problema operazioni su sottospazi vettoriali
Ciao a tutti, sto svolgendo degli esercizi di matematica discreta 2 e volevo esser sicuro di svolgerli correttamente..il problema è questo
Dati i due spazi vettoriali in $RR^3$ :
$U = {(x,y,z) in RR^3 : -x+y+z = 0 } $
$W = {(x,y,z) in RR^3 : 2x-y+z = 0 } $
1) determinare una base per U,W,U$nn$W,U+W
2) determinare un applicazione lineare $f: RR^3 -> RR^3$ tale che il Kernel(f) = U$nn$W e Img(f) = W
per il primo punto dovrei essere riuscito a risolvere ed ho svolto cosi
1)determinare una base per U,W,U$nn$W,U+W
una base di U è data dai vettori $<(1,0,1),(0,1,-1)>$ trovata ponendo $z = x-y$ con x e y arbitrarie
una base di W è data dai vettori $<(1,0,-2),(0,1,1)>$ trovata ponendo $z = y-2x$ con x e y arbitrarie
ho quindi che la $dim(U) = dim(W) = 2$ spero di non avere sbagliato
Per trovare una base di U $nn$ W ho messo a sistema le due condizioni dei due sottospazi
${(-x+y+z = 0),(2x-y+z = 0):}$ trovando la soluzione ${(z = -1/3y),(x = 2/3y):}$
di cui il vettore rappresentato come $y(2/3,1,-1/3)$ risulta essere quindi una base per U $nn$ W
di conseguenza ho che la $dim(U nn W) = 1$
in ultimo ho che la $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U nn W) = 3$ e qui ho il primo dubbio, essendo la dimensione 3 una base ammissibile per l'operazione somma può esser data per esempio da :
$<(1,0,1),(0,1,-1),(1,0,-2)>$?
dove le prime due sono la base di U con l aggiunta di un vettore di W linearmente indipendente con gli altri due.
Se cè un altro metodo mi affido a voi
per il secondo punto in realtà non so bene da dove partire, quindi vi espongo un mio ragionamento che non ho idea se possa aver senso o meno
2)determinare un applicazione lineare $f: RR^3 -> RR^3$ tale che il Kernel(f) = U$nn$W e Img(f) = W
essendo il Kernel(f) = U $nn$ W ho che le condizioni di cui sarà composta l'applicazione f sarannno
${(1/3y+z = 0),(x-2/3y = 0):}$ di cui una base è v = (2/3,1,-1/3) trovata prima
fatto questo vedo se questa base è accettabile per W, quindi applico il vettore v alla condizione del sottospazio W :
$2x-y+z = 0$ --> $2*2/3-1-1/3 = 0$ --> $0=0$ che risulta vera
ha senso o si fa in tutt'altro modo? vi ringrazio anticipatamente
Dati i due spazi vettoriali in $RR^3$ :
$U = {(x,y,z) in RR^3 : -x+y+z = 0 } $
$W = {(x,y,z) in RR^3 : 2x-y+z = 0 } $
1) determinare una base per U,W,U$nn$W,U+W
2) determinare un applicazione lineare $f: RR^3 -> RR^3$ tale che il Kernel(f) = U$nn$W e Img(f) = W
per il primo punto dovrei essere riuscito a risolvere ed ho svolto cosi
1)determinare una base per U,W,U$nn$W,U+W
una base di U è data dai vettori $<(1,0,1),(0,1,-1)>$ trovata ponendo $z = x-y$ con x e y arbitrarie
una base di W è data dai vettori $<(1,0,-2),(0,1,1)>$ trovata ponendo $z = y-2x$ con x e y arbitrarie
ho quindi che la $dim(U) = dim(W) = 2$ spero di non avere sbagliato
Per trovare una base di U $nn$ W ho messo a sistema le due condizioni dei due sottospazi
${(-x+y+z = 0),(2x-y+z = 0):}$ trovando la soluzione ${(z = -1/3y),(x = 2/3y):}$
di cui il vettore rappresentato come $y(2/3,1,-1/3)$ risulta essere quindi una base per U $nn$ W
di conseguenza ho che la $dim(U nn W) = 1$
in ultimo ho che la $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U nn W) = 3$ e qui ho il primo dubbio, essendo la dimensione 3 una base ammissibile per l'operazione somma può esser data per esempio da :
$<(1,0,1),(0,1,-1),(1,0,-2)>$?
dove le prime due sono la base di U con l aggiunta di un vettore di W linearmente indipendente con gli altri due.
Se cè un altro metodo mi affido a voi
per il secondo punto in realtà non so bene da dove partire, quindi vi espongo un mio ragionamento che non ho idea se possa aver senso o meno
2)determinare un applicazione lineare $f: RR^3 -> RR^3$ tale che il Kernel(f) = U$nn$W e Img(f) = W
essendo il Kernel(f) = U $nn$ W ho che le condizioni di cui sarà composta l'applicazione f sarannno
${(1/3y+z = 0),(x-2/3y = 0):}$ di cui una base è v = (2/3,1,-1/3) trovata prima
fatto questo vedo se questa base è accettabile per W, quindi applico il vettore v alla condizione del sottospazio W :
$2x-y+z = 0$ --> $2*2/3-1-1/3 = 0$ --> $0=0$ che risulta vera
ha senso o si fa in tutt'altro modo?
vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Per la prima parte a me pare che vada tutto bene. Forse, ponendo y=3, si libera dalle frazioni il vettore v che diventa:
$v=(2,3,-1)$, più semplice da manipolare. Per la seconda parte, trattandosi di una $f:\mathbb{R]^3->\mathbb{R}^3$, l'applicazione lineare che si cerca risulta determinata, com'è noto dalla teoria, quando sono note le immagini dei vettori che compongono una base di $mathbb{R}^3$. Nel nostro caso, per come sono posti i dati, siamo praticamente obbligati a scegliere come immagini i vettori $(0,0,0), (1,0,-2),(0,1,1)$ in quanto il primo vettore per ipotesi è l'immagine del vettore $(2,3,-1)$ mentre gli altri due, dato che appartengono a $Im(f)$, sono le immagini di certi altri due vettori di $\mathbb{R}^3$ che dobbiamo assegnare. Chiaramente, a seconda di come scegliamo questi due ultimi vettori, così cambia la $f$ che quindi non risulta unica. Io scelgo $(1,0,0) ,(0,1,0)$ ma tu, per esercizio, puoi fare una scelta diversa...
In conclusione si ha :
(A) \(\displaystyle \begin{cases}f(2,3,-1)=(0,0,0)\\f(1,0,0)=(1,0,-2)\\f(0,1,0)=(0,1,1)\end{cases} \)
Posto :
$(x,y,z)=a(2,3,-1)+b(1,0,0)+c(0,1,0)$
Facendo i soliti calcoli risulta :
$(x,y,z)=-z(2,3,-1)+(x+2z)(1,0,0)+(y+3z)(0,1,0)$
Passando alle immagine e tenendo conto della (A), abbiamo :
$f(x,y,z)=-z(0,0,0)+(x+2z)(1,0,-2)+(y+3z)(0,1,1)=(x+2z,y+3z,-2x+y-z) $
In forma più precisa la f è :
$ f((x),(y),(z))=((x+2z),(y+3z),(-2x+y-z)) $
$v=(2,3,-1)$, più semplice da manipolare. Per la seconda parte, trattandosi di una $f:\mathbb{R]^3->\mathbb{R}^3$, l'applicazione lineare che si cerca risulta determinata, com'è noto dalla teoria, quando sono note le immagini dei vettori che compongono una base di $mathbb{R}^3$. Nel nostro caso, per come sono posti i dati, siamo praticamente obbligati a scegliere come immagini i vettori $(0,0,0), (1,0,-2),(0,1,1)$ in quanto il primo vettore per ipotesi è l'immagine del vettore $(2,3,-1)$ mentre gli altri due, dato che appartengono a $Im(f)$, sono le immagini di certi altri due vettori di $\mathbb{R}^3$ che dobbiamo assegnare. Chiaramente, a seconda di come scegliamo questi due ultimi vettori, così cambia la $f$ che quindi non risulta unica. Io scelgo $(1,0,0) ,(0,1,0)$ ma tu, per esercizio, puoi fare una scelta diversa...
In conclusione si ha :
(A) \(\displaystyle \begin{cases}f(2,3,-1)=(0,0,0)\\f(1,0,0)=(1,0,-2)\\f(0,1,0)=(0,1,1)\end{cases} \)
Posto :
$(x,y,z)=a(2,3,-1)+b(1,0,0)+c(0,1,0)$
Facendo i soliti calcoli risulta :
$(x,y,z)=-z(2,3,-1)+(x+2z)(1,0,0)+(y+3z)(0,1,0)$
Passando alle immagine e tenendo conto della (A), abbiamo :
$f(x,y,z)=-z(0,0,0)+(x+2z)(1,0,-2)+(y+3z)(0,1,1)=(x+2z,y+3z,-2x+y-z) $
In forma più precisa la f è :
$ f((x),(y),(z))=((x+2z),(y+3z),(-2x+y-z)) $
eccomi, scusa per il ritardo! okay tutto chiaro, l'ho risvolto prendendo una base canonica diversa e torna tutto..ti ringrazio tantissimo!
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