Problema nel trovare una base

lewis1
Ciao a tutti.
Sto preparando l'esame di algebra lineare, ma ho qualche problema con gli esercizi (anche perchè facciamo un corso molto teorico, che lascia davvero pochissimo spazio agli esercizi...ma l'esame scritto è composto dalla sola pratica!!!)

Dunque, tra i tanti problemi (sigh), ne ho uno con la richiesta di trovare delle basi.
Vi faccio un esempio di esercizio e vi spiego dove mi blocco.

ESERCIZIO
Data l'applicazione lineare $ F : RR^4 rarr RR^4$ , definita per ogni $x in RR^4$, da

$F(X) =((x_3 - x_2), (x_2 + x_4 - x_1), (x_1 - x_3 - x_4), (x_2 - x_3))$

1) deterrminare una base per il nucleo e una base per l'immagine di F
2) dimostrare che $RR^4$ è somma diretta del nucleo e dell'immagine di F.

RISOLUZIONE (per quel poco che reisco a fare)
Dunque...io so che un vettore X appartiene al nucleo di F se $F(V) = 0$.
Quindi

$\{(x_3 - x_2=0), (x_2 + x_4 - x_1=0), (x_1 - x_3 - x_4=0), (x_2 - x_3=0):}

Facendo i conti:

$\{(x_2 = x_3), (x_1 = x_4 + x_3):}

I vettori del nucleo sarebberò quindi di questo tipo:

$((a+b), (a), (a), (b))$ con $a,b in RR$

e fin qui ci arrivo senza guardare soluzioni \ appunti.
Ora devo fornire una base per il nucleoe una per l'immagine.
Io so che una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che genreano lo spazio vettoriale in questione, quindi $RR^4$...ho capito cos'è una base,
il problema è che non so come fare per fornirne una...cioè, esiste un "metodo" per trovare una base?

Scusate l'ignoranza...magari è una domanda stupida, ma qui mi bloccco sempre!
Grazie mille per l'aiuto,
Buona giornata

L

Risposte
lewis1
Provo ad applicare e poi posto il risultato.
Grazie mille.

L

lewis1
Ciao! Innanzitutto scusa se non ho più risposto...
Ma ho dovuto preparare altri 2 esami nel frattempo e per non fare confusioni inutili ho preferito aspettare a concentrarmi su algebra :lol:

Dunque...per l'immagine ho fatto come mi hai consigliato; ho scritto la matrice associata che è

$M=((0,-1,1,0),(-1,1,0,1),(1,0,-1,-1),(0,1,-1,0))$

il numero di colonne linearmente indipendenti è 3, perchè la 1 e la 4 sono una multipla dell'altra
Ma quindi la base dell'immagine ha dimensione 3? Non dovrebbe essere 2?
Perchè se la calcolo tramite la formula ho che

$dim(Im(F))=dim(RR^4) - dim(Ker(F)) = 4-2$
Quindi dove ho sbalgiato?
Forse c'erntra il fatto che oltre alle due colonne linearmente dipendenti ci sono anche 2 righe l.d...o sbaglio?
Grazie

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