Problema nel Duale
Salve a tutti io stavo studiando lo Spazio Duale e qualche problema forse solamente di notazione.
mi invento questo esempio per cercare di capire...
Sia uno Spazio Vettoriale $V$ e sia $V^*$ il suo duale (forme lineari da $V rarr K$ cioè $Hom(V,K)$ )
sia $$ una base di V e sia $(f^*_1,.....,f^{*}_n)$ una base di $V^*$
So che $V$ e $V^*$ sono isomorfi cioè $V \sim V*$ per dimostrarlo penso all'applicazione banale
$H:V rarr V^*$ dove $H(v_i)=f^*_i $ $ 1\leq i \le n $
ora se prendo un $u in V$ dove $u=a_1v_1+.....+a_nv_n$
mediante $H$ porto $u$ in V*
$H(u)=H(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1H(v_1)+.....+a_nH(v_n)= a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]=u^* in V^*$
fin qui tutto Ok!
ma se già che sono in V* voglio "trasferirmi" in $K$ e qui ho un problema..
so che $f^*_j(v_i)=\delta_{i,j}$ dunque posso scrivere direttamente
$u^*=a_1+....+a_n=c in K$? penso di si eppure mi sembra "insolita" la notazione funzione=costante$u^*=costante$
perché non indico su quale vettore(nel nostro caso $u$) deve essere calcolato.. però anche se quest'altra scrittura ($u^*(u)=c in K$ )è più famigliare mi sembra senza senso..
anche se ora che ci penso u* è stato creato utilizzando u quindi forse la scrittura $u^*=c in K$ è lecita, giusto??
anche perché se poi cerco di scrivere in quel'altro modo.. $u^*(u)=u^*(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1u^*(v_1)+....+a_n u^*(v_n)$
ma io non conosco $u^*(v_i)"$ quindi non so proseguire.. l'unica idea che mi viene è quello di sostituire u*
$u^*(u)=u^*(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1u^*(v_1)+....+a_n u^*(v_n)=$
$a_1[a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]](v_1)+....+a_n[a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]](v_n)= $
$a_1(a_1+...+a_n)+...+a_n(a_1+...+a_n)= a_1(c)+...+a_n(c) =c(a_1+...+a_n)$
penso di essere fuori strada da un bel po'
ma ho cominciato a studiare il duale ieri sera.. e molte cose non sono "nitide"
mi sembra di impazzire..
grazie per la vostra pazienza
mi invento questo esempio per cercare di capire...
Sia uno Spazio Vettoriale $V$ e sia $V^*$ il suo duale (forme lineari da $V rarr K$ cioè $Hom(V,K)$ )
sia $
So che $V$ e $V^*$ sono isomorfi cioè $V \sim V*$ per dimostrarlo penso all'applicazione banale
$H:V rarr V^*$ dove $H(v_i)=f^*_i $ $ 1\leq i \le n $
ora se prendo un $u in V$ dove $u=a_1v_1+.....+a_nv_n$
mediante $H$ porto $u$ in V*
$H(u)=H(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1H(v_1)+.....+a_nH(v_n)= a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]=u^* in V^*$
fin qui tutto Ok!
ma se già che sono in V* voglio "trasferirmi" in $K$ e qui ho un problema..
so che $f^*_j(v_i)=\delta_{i,j}$ dunque posso scrivere direttamente
$u^*=a_1+....+a_n=c in K$? penso di si eppure mi sembra "insolita" la notazione funzione=costante$u^*=costante$
perché non indico su quale vettore(nel nostro caso $u$) deve essere calcolato.. però anche se quest'altra scrittura ($u^*(u)=c in K$ )è più famigliare mi sembra senza senso..
anche se ora che ci penso u* è stato creato utilizzando u quindi forse la scrittura $u^*=c in K$ è lecita, giusto??
anche perché se poi cerco di scrivere in quel'altro modo.. $u^*(u)=u^*(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1u^*(v_1)+....+a_n u^*(v_n)$
ma io non conosco $u^*(v_i)"$ quindi non so proseguire.. l'unica idea che mi viene è quello di sostituire u*
$u^*(u)=u^*(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1u^*(v_1)+....+a_n u^*(v_n)=$
$a_1[a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]](v_1)+....+a_n[a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]](v_n)= $
$a_1(a_1+...+a_n)+...+a_n(a_1+...+a_n)= a_1(c)+...+a_n(c) =c(a_1+...+a_n)$
penso di essere fuori strada da un bel po'
ma ho cominciato a studiare il duale ieri sera.. e molte cose non sono "nitide"mi sembra di impazzire..
grazie per la vostra pazienza
Risposte
???
Ma la domanda qual è? Senti, io fossi in te farei un RESET mentale, girerei pagina tornando all'inizio del capitolo sugli spazi duali, e ricomincerei daccapo. Se ti serve del materiale ulteriore (e se sei un matematico) ti consiglio il libro di Ruslan Sharipov: http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 , capitolo 3: Dual space.
Ma la domanda qual è? Senti, io fossi in te farei un RESET mentale, girerei pagina tornando all'inizio del capitolo sugli spazi duali, e ricomincerei daccapo. Se ti serve del materiale ulteriore (e se sei un matematico) ti consiglio il libro di Ruslan Sharipov: http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 , capitolo 3: Dual space.
no aspetta prima del reset, ho individuato il punto dolente:
$a_1H(v_1)+.....+a_nH(v_n)= a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]$
questa uguaglianza è sbagliata, ed è lei che ti porta fuori strada.
infatti tu pensi che $H(v_i)=f^*_i(v_i)$ ma questo non ha senso.
infatti $H(v_i)=f^*_i$ come detto all'inizio
mentre $f^*_i(v_i)=1$ ovvero $\delta(i,i)$
e non ha senso, da una parte hai una applicazione, dall'altra uno scalare!!!
e così per tutto ciò che dici dopo: ciò che dici essere lecito non ha senso, ciò che pensi non abbia senso invece è abbastanza giusto.
e qundi fai reset, ma solo della seconda parte...
"f4st":
$u in V$ dove $u=a_1v_1+.....+a_nv_n$
$H(u)=H(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1H(v_1)+.....+a_nH(v_n)= a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]=u^* in V^*$
$a_1H(v_1)+.....+a_nH(v_n)= a_1[f^*_1(v_1)]+.....+a_n[f^*_n(v_n)]$
questa uguaglianza è sbagliata, ed è lei che ti porta fuori strada.
infatti tu pensi che $H(v_i)=f^*_i(v_i)$ ma questo non ha senso.
infatti $H(v_i)=f^*_i$ come detto all'inizio
mentre $f^*_i(v_i)=1$ ovvero $\delta(i,i)$
e non ha senso, da una parte hai una applicazione, dall'altra uno scalare!!!
e così per tutto ciò che dici dopo: ciò che dici essere lecito non ha senso, ciò che pensi non abbia senso invece è abbastanza giusto.
e qundi fai reset, ma solo della seconda parte...
grazie Blackbishop13 e Dissonance!
non posso credere di aver scritto quelle bestemmie $H(v_i)=f^*_i(v_i)$ , sono da rinchiudere, cmq si ho ricominciato a leggere leggere tutto dall'inizio.
dunque $H(u)=H(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1H(v_1)+.....+a_nH(v_n)= a_1[f^*_1]+.....+a_n[f^*_n]=u^* in V^*$
cioè H calcolato su un vettore mi individua un'applicazione nel duale V*
$H(u)=u^*$ so che u* valutato su un vettore $in V$ mi porta in $K$ ora sono curioso di vedere l'immagine di $u in V$ tramite
la funzione trovata $u^* :V rarr K$
$u^*(u)=u^*(a_1v_1+....+a_n v_n)= a_1u^*(v_1)+....+a_n u^*(v_n)$ mi fermo qui? cioè per proseguire nel calcolo devo
fissare arbitrariamente immagini della base di $V$ (cioè per esempio $u^*(v_1)=2.8 $ $u^*(v_2)=14.7...$) giusto?
non posso credere di aver scritto quelle bestemmie $H(v_i)=f^*_i(v_i)$ , sono da rinchiudere
, cmq si ho ricominciato a leggere leggere tutto dall'inizio.dunque $H(u)=H(a_1v_1+.....+a_nv_n)=a_1H(v_1)+.....+a_nH(v_n)= a_1[f^*_1]+.....+a_n[f^*_n]=u^* in V^*$
cioè H calcolato su un vettore mi individua un'applicazione nel duale V*
$H(u)=u^*$ so che u* valutato su un vettore $in V$ mi porta in $K$ ora sono curioso di vedere l'immagine di $u in V$ tramite
la funzione trovata $u^* :V rarr K$
$u^*(u)=u^*(a_1v_1+....+a_n v_n)= a_1u^*(v_1)+....+a_n u^*(v_n)$ mi fermo qui? cioè per proseguire nel calcolo devo
fissare arbitrariamente immagini della base di $V$ (cioè per esempio $u^*(v_1)=2.8 $ $u^*(v_2)=14.7...$) giusto?
tutto tranne l'ultima frase.
non puoi fissare arbitrariamente i valori assunti da $u^*$ sui vettori della base perchè $u^*=sum_(i=1)^n a_(i) f^*_i$
quindi $u^*(v_i)$ quanto vale??
prova a rispondere da solo, la soluzione te la nascondo
non puoi fissare arbitrariamente i valori assunti da $u^*$ sui vettori della base perchè $u^*=sum_(i=1)^n a_(i) f^*_i$
quindi $u^*(v_i)$ quanto vale??
prova a rispondere da solo, la soluzione te la nascondo
$u^*(v_i)=(a_1 f^*_1+..... +a_n f^*_n) (v_i)= a_1f^*_1(v_i)+.... + a_nf^*_n(v_i)=a_i f^*_i(v_i)=a_i$
spero sia giusto, ora controllo!!!! >.<
spero sia giusto, ora controllo!!
!! >.<
woww giusto grazie MILLEEE
prego, è un piacere!!
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