Problema matrici simili

[germano88]

data la matrice A= $ {: ( k^2 , 1 , k-3 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 9 ) :} $
determinare , posto k=3 una matrice B che abbia lo stesso polinomio caratteristico di A ma che non sia simile ad A .......
come faccio?? qualcuno ha qlk suggerimento???

[franced]

Scrivi intanto la matrice con $k=3$, poi guardala attentamente..

[germano88]

${: ( 9 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 9 ) :}$ ...questa è la matrice.....due matrici sono simili qnd hanno polinomio caratteristico., stessa traccia , stesso rango,,,no??? quindi l unica cosa che posso cambiare per farla risultare non simile è il rango giusto?
e come faccio?

[franced]

Attenzione: le matrici

[tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]

hanno lo stesso polinomio caratteristico ma non sono simili!

Quindi non basta che due matrici abbiano lo stesso polinomio caratteristico per essere simili;
avere lo stesso polinomio caratteristico è una condizione necessaria ma non sufficiente (il mio esempio
ti dovrebbe aiutare a risolvere il tuo problema..)

[germano88]

0k ho capito ma quello che mi chiedevo, è : dato che la matricè risulta:${: ( 9 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 9 ) :}$ la matrice $B$ che devo trovare deve avere lo stesso polinomio caratteristico e quindi l unica cosa che posso cambiare della matrice $A$ è il suo rango ,,perchè per avere stesso polinomio la traccia deve essere uguale, il problema è che non riesco a trovare nessun valore per cui rango A sia diversa dal rango di B......

[franced]

Prova a guardare gli autospazi..

[germano88]

io devo trovare due matrici non simili...!!!

[franced]

Lo so, ma devono avere lo stesso polinomio caratteristico!

[franced]

Altro suggerimento: guarda l'esempio 2x2 che ho scritto prima..
guarda gli autospazi delle due matrici: cosa osservi?

[germano88]

l autospazio relativo all autovettore $9$ è ${: ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -8 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) :}$ mentre quello relativo all autovalore$ 1$ è ${: ( 8 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 8 ) :}$ .......negli autospazi osservo che nel primo caso ha rango 1 e nel secondo =2....

[franced]

quindi cosa puoi concludere? La tua matrice è diagonalizzabile?
(cerco di portarti alla soluzione passo passo..)

[germano88]

si la mia matrice è diagonalizzabile, perchè la somma delle molteplicità geometrichè è uguale alla dim dello spazio vettoriale in cui lavoriamo...
cmq ti ringrazio che mi fai capire paso a passo.....

[franced]

Bene, ora cerca di scrivere una matrice con gli stessi autovalori ma non diagonalizz.

[germano88]

mi puoi fare un esempio per cortesia ...così poi ci ragiono su...grazie 1000 di tutto...!!!

[franced]

Guarda, come esempio, questa coppia di matrici:

[tex]\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]

hanno lo stesso polinomio caratteristico ma non sono simili.

[germano88]

quindi il " trucco" sta nel trovare una matrice, che non sia diagonalizzabile, e quindi anche se con stesso rango e polinomio caratteristico (quindi traccia) le 2 matrici non sono simili..ok!!!

[franced]

Guarda bene l'ultimo esempio e cerca di adattarlo al tuo caso specifico!

[germano88]

ok ho capito ..quindi la matrice $B$ é${: ( 9 , 1 , 0 ),( 0 , 9 , 0 ),( 0 , 0 , 1) :}$ perchè avrebbe somma delle molteplicità geometrica uguale a $4$ quindi non diagonalizzabile e perciò non simile alla matrice $A$ che invece lo è.....
GRAZIE!!!

[franced]

Mi sa che fai confusione: tu stai parlando della somma dei ranghi delle matrici $A - lambda I$..
Comunque la tua matrice è ok! Bravo!

[germano88]

si è vero mi sono sbagliato, mi correggo ..la somma delle molteplicità geometriche sarebbe $2$ quindi comunque non diagonalizzabile...!!!

[franced]

Ora va bene.
Ce l'hai fatta..