Problema geometria piani ortogonale ad un vettore

[Ener2]

Tra i piani contenenti la retta r di equzione\(\displaystyle x-y=y-z-8=0 \) determinare quello perpendicolare al vettore\(\displaystyle(3,-5,2) \) .
Ora un piano e un vettore sono ortogonali quando le componenti del vettore, quindi\(\displaystyle(a,b,c) \) , sono proporzionali a quelle del piano stesso.
Ho provato a sostituire ma non esce.
Qualche consiglio da darmi???

[bugman]

Poichè conosci già il vettore perpendicolare al piano che vuoi cercare, saprai bene che i coefficenti che moltiplicano le incognite del piano scritto nella forma cartesiana altri non sono che le componenti del vettore perpendicolare. Quindi tutti i piani paralleli tra loro e perpendicolari al vettore $(3,-5,2)$ sono i piani nella forma $3x-5y+2z=d$ dove d è una costante che varia al variare della scelta del tuo piano. Ora per sfruttare la condizione sulla retta contenuta nel piano potresti trovare le equazioni parametriche della retta, che sono $(x,y,z)=t(1,1,1)+(0,0,-8)$ e sostituire i generici punti $x=t$, $y0t$ , $z=t-8$ nel piano e verificare che per ogni scelta di $t$ la retta risulta contenuta nel piano per $d=-16$
Infatti $3(t)-5(t)+2(t-8)=d$ implica $3t-5t+2t-16=d$ che comporta l'eliminazione delle $t$ (significa che la relazione è soddisfatta a prescindere dalla scelta di $t$, o in altri termini per ogni $t$) e ha senso se e solo se $d=-16$.
Il piano cercato è dunque $3x-5y+2z=-16$

[Ener2]

Ti ringrazio tantissimo!!!!!!
L'unica cosa che ti vorrei chiedere è questa: il risultato che il professore ha messo nella risoluzione è \(\displaystyle 3x-zy+2z+16=0 \) cosa c'è di diverso da quella che mi hai fornito e quella del prof??
Grazie ancora!!!

[bugman]

Penso che in realtà la $z$ che ha messo il tuo professore sia in realtà un 5.

[Ener2]

ok perfetto grazie ancora!!!!