Problema Geometria Nello Spazio
Salve a tutti,ahimè non riesco a risolvere il seguente problema di geometria analitica(diciamo anche che non sono molto ferrato)..Il testo Recita:
Nello Spazio Tri-Dimensionale,determinare Le rette passanti per il Punto A(0,0,1),incidenti la retta R:$\{(x =2z+3),(y=z+1):}$ ed equidistanti dagli assi X,Y .Fra quelle richieste individuare quella più lontana da tali assi.
Per la prima parte(incidenza e passaggio per A) avevo pensato di scrivermi la retta passante Per A ed un generico punto di R(ad esempio P(2a+3,a+1,a))...ma una volta fatto ciò non sò decisamente come continuare
Vi ringrazio in anticipo
Nello Spazio Tri-Dimensionale,determinare Le rette passanti per il Punto A(0,0,1),incidenti la retta R:$\{(x =2z+3),(y=z+1):}$ ed equidistanti dagli assi X,Y .Fra quelle richieste individuare quella più lontana da tali assi.
Per la prima parte(incidenza e passaggio per A) avevo pensato di scrivermi la retta passante Per A ed un generico punto di R(ad esempio P(2a+3,a+1,a))...ma una volta fatto ciò non sò decisamente come continuare
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Le rette che si cercano appartengono al piano individuato dal punto A e dalla retta R dati. Per trovarne l'equazione scriviamo dapprima l'equazione del fascio di piani di asse la retta R:
(1) $lambda(x-2z-3)+mu(y-z-1)=0$
Imponendo il passaggio per $A(0,0,1)$ :
$5lambda+2mu=0$
Scegliendo $lambda=2,mu=-5$ e sostituendo in (1) abbiamo :
$ 2x-5y+z-1=0 $
Osserviamo ora che nel piano il luogo dei punti equidistanti da due rette incidenti è formato dalle due bisettrici degli angoli che quelle rette formano. In analogia si ha che nello spazio tridimensionale il luogo dei punti equidistanti da due piani incidenti è costituito dai due piani che bisecano gli angoli diedri che quei piani formano. Nel nostro caso i due piani sono i piani xz e yz che passano per l'asse z ( e quindi anche per il punto A(0,0,1)). Dall'analitica è noto che le equazioni dei piani bisettori sono: $x+y=0, x-y=0$. Pertanto le rette richieste sono :
$a_1: $ \(\displaystyle \begin{cases} 2x-5y+z-1=0\\x+y=0\end{cases} \)
$a_2: $ \(\displaystyle \begin{cases} 2x-5y+z-1=0\\x-y=0\end{cases} \)
Con i metodi usuali è possibile calcolare la distanza di $a_1$ dall'asse x ( o dall'asse y) ed analogamente per $a_2$
( lascio a te i dettagli). La prima distanza è $(sqrt 2)/(10)$. La seconda è invece $(sqrt 10)/(10)$
Pertanto la retta $a_2$ è la più lontana dagli assi.
(1) $lambda(x-2z-3)+mu(y-z-1)=0$
Imponendo il passaggio per $A(0,0,1)$ :
$5lambda+2mu=0$
Scegliendo $lambda=2,mu=-5$ e sostituendo in (1) abbiamo :
$ 2x-5y+z-1=0 $
Osserviamo ora che nel piano il luogo dei punti equidistanti da due rette incidenti è formato dalle due bisettrici degli angoli che quelle rette formano. In analogia si ha che nello spazio tridimensionale il luogo dei punti equidistanti da due piani incidenti è costituito dai due piani che bisecano gli angoli diedri che quei piani formano. Nel nostro caso i due piani sono i piani xz e yz che passano per l'asse z ( e quindi anche per il punto A(0,0,1)). Dall'analitica è noto che le equazioni dei piani bisettori sono: $x+y=0, x-y=0$. Pertanto le rette richieste sono :
$a_1: $ \(\displaystyle \begin{cases} 2x-5y+z-1=0\\x+y=0\end{cases} \)
$a_2: $ \(\displaystyle \begin{cases} 2x-5y+z-1=0\\x-y=0\end{cases} \)
Con i metodi usuali è possibile calcolare la distanza di $a_1$ dall'asse x ( o dall'asse y) ed analogamente per $a_2$
( lascio a te i dettagli). La prima distanza è $(sqrt 2)/(10)$. La seconda è invece $(sqrt 10)/(10)$
Pertanto la retta $a_2$ è la più lontana dagli assi.
Grazie!era davvero facile! un saluto
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