Problema Geometria Euclidea molto difficile(distanze)
Salve a tutti ho questo problema.
Ho 2 rette parallele
r:
$ x=2+t $
$ y=1+t $
$ z=-1+2t $
s:
$ x=2+k$
$ y=1+k$
$ z=2k$
l'esercizio mi chiedi di trovare il luogo dei punti dello spazio a distanza 1 sia da r che da s.
Io intuitivamente l'ho pensato all'intersezione di 2 cilindri grazie alla distanza 1 sia da r che da s.
Ma non avendo fatto i cilindri non so come procedere quindi penso che ci sia un modo alternativo..qualche idea?
Ho 2 rette parallele
r:
$ x=2+t $
$ y=1+t $
$ z=-1+2t $
s:
$ x=2+k$
$ y=1+k$
$ z=2k$
l'esercizio mi chiedi di trovare il luogo dei punti dello spazio a distanza 1 sia da r che da s.
Io intuitivamente l'ho pensato all'intersezione di 2 cilindri grazie alla distanza 1 sia da r che da s.
Ma non avendo fatto i cilindri non so come procedere quindi penso che ci sia un modo alternativo..qualche idea?
Risposte
Basta applicare la definizione di distanza punto-retta.
riccardo ti puoi spiegare meglio?
perchè io non sto cercando la distanza tra le 2 rette,ma le rette distante da entrambi le rette 1..
perchè io non sto cercando la distanza tra le 2 rette,ma le rette distante da entrambi le rette 1..
Sia $ P(x,y,z) $ un punto generico del luogo cercato.
Siano $ R(2, 1, −1) \in r $, $ S(2, 1, 0) \in s $, $ \mathbf{v}_r $ un vettore di direzione di $ r $ e $ \mathbf{v}_s $ un vettore di direzione di $ s $.
Applicando la definizione di distanza punto-retta (minima distanza tra il punto e i vari punti della retta) ottieni la relazione
\[ d(P, r) = \frac{\lvert \vec{RP} \wedge \mathbf{v}_r \rvert}{\lvert \mathbf{v}_r \rvert} \]
Deve allora essere
\[ \cases{ \frac{\lvert \vec{RP} \wedge \mathbf{v}_r \rvert}{\lvert \mathbf{v}_r \rvert} = 1 \\ \frac{\lvert \vec{SP} \wedge \mathbf{v}_s \rvert}{\lvert \mathbf{v}_s \rvert} = 1 } \]
Siano $ R(2, 1, −1) \in r $, $ S(2, 1, 0) \in s $, $ \mathbf{v}_r $ un vettore di direzione di $ r $ e $ \mathbf{v}_s $ un vettore di direzione di $ s $.
Applicando la definizione di distanza punto-retta (minima distanza tra il punto e i vari punti della retta) ottieni la relazione
\[ d(P, r) = \frac{\lvert \vec{RP} \wedge \mathbf{v}_r \rvert}{\lvert \mathbf{v}_r \rvert} \]
Deve allora essere
\[ \cases{ \frac{\lvert \vec{RP} \wedge \mathbf{v}_r \rvert}{\lvert \mathbf{v}_r \rvert} = 1 \\ \frac{\lvert \vec{SP} \wedge \mathbf{v}_s \rvert}{\lvert \mathbf{v}_s \rvert} = 1 } \]
ho una domanda..perchè guardando quel sistema allora mi verebbe da dire che la retta a distanza 1 da entrambe sarebbe uguale alla retta a distanza H da entrambe..è corretto?
"paxpax92":
ho una domanda..perchè guardando quel sistema allora mi verebbe da dire che la retta a distanza 1 da entrambe sarebbe uguale alla retta a distanza H da entrambe..è corretto?
Definisci $ H $. E comunque nessuno ti dice che il luogo cercato sia una retta.
H preso come un qualsiasi numero reale o comunque di un campo K.(si lo so ma intuitivamente a me verrebbe da dire che è una retta).
Ti chiedo questo perchè io conosco la formula distanza punto-iperpiano,questa formula non l'avevo mai vista..
Ti chiedo questo perchè io conosco la formula distanza punto-iperpiano,questa formula non l'avevo mai vista..
"paxpax92":
Ti chiedo questo perchè io conosco la formula distanza punto-iperpiano,questa formula non l'avevo mai vista..
Stiamo lavorando su uno spazio euclideo tridimensionale, la retta è ben lungi dall'essere iperpiano.
Per risolvere l'esercizio calcola le due distanze in funzione delle coordinate di $ P $ e studia il luogo descritto dal sistema.
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