Problema geometria analitica
salve ho un problema con questo esercizio:
trovare il piano passante per il punto (3,1,4)e parallelo alle rette di equazioni x+3y-z-3=0 e 2x+y+z=5
il mio problema è che non riesco a passare dalle formule cartesiane della retta alle formule parametriche in modo tale da calcolarmi le 3 costanti l,m,n
mi potreste aiutare facendomi i passaggi precisi per favore?? grazie
trovare il piano passante per il punto (3,1,4)e parallelo alle rette di equazioni x+3y-z-3=0 e 2x+y+z=5
il mio problema è che non riesco a passare dalle formule cartesiane della retta alle formule parametriche in modo tale da calcolarmi le 3 costanti l,m,n
mi potreste aiutare facendomi i passaggi precisi per favore?? grazie
Risposte
le 2 equazioni che hai inserito sono insieme in un sistema? perchè prese da sole sono 2 piani non rette!
ok ho provato a fare qualche conto ma non sono totalmente sicuro...
Allora per prima cosa ti trovi la stella di piani passante per il punto $p=((3),(1),(4))$ prendendo $x_p=3; y_p=1; z_p=4$ quindi la stella di piani è $alpha (x-x_p) + beta (y-y_p) + gamma (z-z_p)$ quindi alla fine la tua stella sarà $alpha x + beta y + gamma z -3 alpha - beta - 4 gamma$
ora te sai che il tuo piano deve essere parallelo alla tua retta data dal sistema delle 2 equazioni che è quindi $r: ((2),(0),(-1)) + <((2),(1),(5))>$ quindi semplicemente ti trovi la retta ortogonale a $<((2),(1),(5))> = <((1),(-2),(0))> e <((0),(-5),(1))> $
ora quindi prendi una di queste 2 rette (questo è il passaggio in cui sono un po' insicuro, io prenderò $<((1),(-2),(0))> $ ) e sai che il piano deve essere ortogonale a questa quindi i coefficenti dell equazione cartesiana del piano devono avere gli stessi valori della retta. quindi da $alpha x + beta y + gamma z -3 alpha - beta - 4 gamma$ sai che $alpha = 1, beta=-2, gamma = 0$ quindi il tuo piano sarà $x - 2y -1$
dovrebbe essere giusto ma il fatto di avere (ovviamente) 2 rette perpendicolari mi spiazza un po'....
Allora per prima cosa ti trovi la stella di piani passante per il punto $p=((3),(1),(4))$ prendendo $x_p=3; y_p=1; z_p=4$ quindi la stella di piani è $alpha (x-x_p) + beta (y-y_p) + gamma (z-z_p)$ quindi alla fine la tua stella sarà $alpha x + beta y + gamma z -3 alpha - beta - 4 gamma$
ora te sai che il tuo piano deve essere parallelo alla tua retta data dal sistema delle 2 equazioni che è quindi $r: ((2),(0),(-1)) + <((2),(1),(5))>$ quindi semplicemente ti trovi la retta ortogonale a $<((2),(1),(5))> = <((1),(-2),(0))> e <((0),(-5),(1))> $
ora quindi prendi una di queste 2 rette (questo è il passaggio in cui sono un po' insicuro, io prenderò $<((1),(-2),(0))> $ ) e sai che il piano deve essere ortogonale a questa quindi i coefficenti dell equazione cartesiana del piano devono avere gli stessi valori della retta. quindi da $alpha x + beta y + gamma z -3 alpha - beta - 4 gamma$ sai che $alpha = 1, beta=-2, gamma = 0$ quindi il tuo piano sarà $x - 2y -1$
dovrebbe essere giusto ma il fatto di avere (ovviamente) 2 rette perpendicolari mi spiazza un po'....
si scusami le 2 equazioni sono a sistema, comunque non mi torna io ho il risultato che è questo:
17(x-3)-9(y-1)+19(z-4)=0
non capisco come abbia fatto
17(x-3)-9(y-1)+19(z-4)=0
non capisco come abbia fatto
"peter9":
si scusami le 2 equazioni sono a sistema, comunque non mi torna io ho il risultato che è questo:
17(x-3)-9(y-1)+19(z-4)=0
non capisco come abbia batto
La stella di piani ha appunto l equazione $alpha (x-3) +beta (y-1) + gamma (z-4) $ come ti avevo scritto prima..ora bisogna solo (
) capire da dove ha preso gli $alpha , beta$ e $gamma$!
appunto era quello il mio problema!
come calcolo i 3 parametri direttori delle equazioni delle rette?
??
La retta è solo una! $((0),(2),(3)) + <((4),(-3),(-5))>$
Prima avevo fatto un erore di calcolo quindi la retta che ti avevo scritto era sbagliata, questa è quella giusta..
La retta è solo una! $((0),(2),(3)) + <((4),(-3),(-5))>$
Prima avevo fatto un erore di calcolo quindi la retta che ti avevo scritto era sbagliata, questa è quella giusta..
e come hai fatto?
Comunque il mio ragionamento di prima filava perchè infatti nel risolvere l esercizio si è presa come retta perpendicolare $<((17),(-9),(+19))>$ che infatti se moltiplicata per il vettore di direzione della retta che ti ho appena scritto da il vettore nullo.... quindi il ragionamento fatto comunque è valido.. non so però che modo ha usato per trovare quel vettore ortogonale.
per trovare la retta basta mettere a sistema le 2 equazioni.
prima ho esplicitato $z$ dalla prima, inserito il valore trovato nella seconda e da li esplicitato $y$ che poi ho risostituito.
quindi alla fine ti viene $y=2-3/4x$ e $z=3-5/4x$ quindi il tuo vettore sarà $((x),(2-3/4x),(3-5/4x))$ ora dividi i termini noti e il coefficiente della x e trovi la retta scritta prima.
Ovviamente i valori della retta possono essere moltiplicati per una costante quindi basta moltiplicare per 4 per togliere le frazioni!
"peter9":
e come hai fatto?
per trovare la retta basta mettere a sistema le 2 equazioni.
prima ho esplicitato $z$ dalla prima, inserito il valore trovato nella seconda e da li esplicitato $y$ che poi ho risostituito.
quindi alla fine ti viene $y=2-3/4x$ e $z=3-5/4x$ quindi il tuo vettore sarà $((x),(2-3/4x),(3-5/4x))$ ora dividi i termini noti e il coefficiente della x e trovi la retta scritta prima.
Ovviamente i valori della retta possono essere moltiplicati per una costante quindi basta moltiplicare per 4 per togliere le frazioni!
ti faccio vedere il procedimento che lui svolge:
si calcola l,m,n che tornano l=4, m=-3, n=-5
ed l1,m1,n1 che tornano l1=-5,m1=-1,n1=-5
calcolati fa questo sistema -5a-b+4c=0 e 4a-3b-5c=0
si trova a,b,c che tornano a=17,b=-9,c=19
e torna, ma non capisco come abbia fatto a trovare quei parametri direttori!
si calcola l,m,n che tornano l=4, m=-3, n=-5
ed l1,m1,n1 che tornano l1=-5,m1=-1,n1=-5
calcolati fa questo sistema -5a-b+4c=0 e 4a-3b-5c=0
si trova a,b,c che tornano a=17,b=-9,c=19
e torna, ma non capisco come abbia fatto a trovare quei parametri direttori!
$n_1$ è -5 o +4? oppure la prima equazione è -5a-b-5c?
comunque l, m, ed n sono i valori rispettivamente di x, y e z della retta! quella che ti ho scritto 2-3 post fa!
comunque l, m, ed n sono i valori rispettivamente di x, y e z della retta! quella che ti ho scritto 2-3 post fa!
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