Problema geometria 1

[giantmath]

Sia $f:V->U$ lineare e $W="Ker"(f)$. Dimostrare che l'applicazione \(\mathbf{f} : V/W \to U\), definita ponendo $mathbf(f)([v])=f(v)$ è lineare, ben definita, e iniettiva.

come si fa a dimostrare queste cose con le classi?

[gugo82]

Usando le definizioni.

Innanzitutto, devi mostrare che se $[v] = $ allora $mathbf(f)([v]) = mathbf(f)()$ ("ben definita" vuol dire che il valore di $mathbf(f)$ su una certa classe di equivalenza non dipende dalla scelta del rappresentante della classe).
La linearità è ovvia: devi far vedere che $mathbf(f)(alpha [v] + beta ) = alpha mathbf(f)([v]) + beta mathbf(f)()$.
Ed anche l'iniettività va provata in uno dei soliti modi, ad esempio mostrando che $"Ker"(mathbf(f)) = [0_V]$.

[giantmath]

Ciao grazie mille.
Ho svolto l'esercizio in questo modo ma ho molti dubbi, puoi dirmi se ho sbagliato?

dimostro che è lineare:
f(λ[v]+μ)=
=f(λv+μu)=f(λv)+f(μu)=
=λf(v)+μf(u)=
=λf([v])+μf()

dimostro che f è iniettiva <=> kerf=[0]
dimostro prima "=>" :
f[v]=[0], essendo f iniettiva, allora [v]=0
dimostro "<=":
sia kerf=[0] e [v],∈V/W tali che f[v]=f
allora f[v]-f=[0]
per la linearità di f: f[v-u]=0
f(v-u)=0
v-u∈kerf={0}
v-u=0
v=u allora f è iniettiva

dimostro che f è ben definita
[x]=[x'] e [y]=[y']
allora x-x' e y-y', ossia x'=x+kn e y'=y+hn
allora (x+y)-(x'+y')=
=(x+y)-(x+kn+y+hn)=
=-(k+h)n
allora x+y è congruo modulo n a x'+y'

[giantmath]

up

[gugo82]

Ritenta, sarai più fortunato.

Seriamente, la prima ok, era la parte facile (anche se intuisco che se ti chiedessi di motivare i passaggi non ti raccapezzeresti più di tanto); ma la seconda e la terza dimostrazione non si capisce cosa vogliano dire.
In particolare, nella seconda dimostri una cosa che non ti è richiesta, mentre nella terza fai semplicemente dei conti a casaccio.
In ognuno dei due casi sembra non esserti affatto chiaro cosa vuoi dimostrare; quindi calma, rifletti e poi scrivi.

[giantmath]

ho tentato quei procedimenti perchè l'unico modo che conosco per dimostrare l'iniettività è che il nucleo sia banale, mentre con 'ben definita' intendo che le operazioni non dipendono dalla scelta dei rappresentati delle classi ma non conosco un modo diverso per dimostrarlo

[gugo82]

"giantmath":ho tentato quei procedimenti perchè l'unico modo che conosco per dimostrare l'iniettività è che il nucleo sia banale [...]

Il che è corretto... Ma non è quello che stai facendo!

Tu stai dimostrando che $mathbf(f) " iniettiva" <=> "Ker" (mathbf(f)) = \{ [0_V]\}$ (che è un teorema che sai già essere vero, poiché l'hai dimostrato in generale -per ogni applicazione lineare ed ogni spazio vettoriale-), mentre a te interessa far vedere che $"Ker" (mathbf(f)) =\{ [0_V]\}$.
Tanto per essere più chiari, pensa ad un esempio elementare: dovresti conoscere il criterio di divisibilità per $3$, cioè che:

$n " è divisibile per " 3 <=> "somma delle cifre di " n " è divisibile per " 3$

questo è un teorema, che si dimostra abbastanza facilmente; dopodiché alla domanda "Secondo te il numero $123456$ è divisibile per $3$?" non cerchi di rispondere calcolando la somma delle cifre di $123456$ (che è $21$) e notando che essa è divisibile per $3$, bensì provi a rispondere dimostrando che:

$123456 " è divisibile per " 3 <=> "somma delle cifre di " 123456 " è divisibile per " 3$,

una versione particolare del criterio che già sai esser valido per tutti i numeri naturali (e dunque per forza anche per $123456$).

"giantmath":[...] mentre con 'ben definita' intendo che le operazioni non dipendono dalla scelta dei rappresentati delle classi ma non conosco un modo diverso per dimostrarlo

Ok, corretto... Ma non è quello che stai dimostrando!

Qui ti sei allontanato proprio tanto, ma tanto, da quello che devi far vedere.
Ti interessa mostrare che:

$ = [v] => mathbf(f)() = mathbf(f)([v])$

ma tu hai dimostrato che:

$=[u'] " e " [v]=[v'] => [u+v] = [u'+v']$.

Cosa c'entra questo con quello che ti interessa?