Problema Forma Quadratica
Ciao ragazzi, mi si presenta il seguente esercizio:
Si consideri la forma quadratica di $R^3$ :
$Q((x_1,x_2,x_3)) = −x_1^2 +x_2^2 −2x_1x_3 +2x_2x_3$ .
1. Calcolare il rango di $Q$ e la sua segnatura.
2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale $H$ di $R^3$ , se
esiste, su cui la forma quadratica $Q$ sia definita positiva.
3. Determinare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale ortogonale (rispetto
alla forma bilineare simmetrica $φ$ associata a $Q$), al piano vettoriale: $F ={(x_1,x_2,x_3)∈R^3 |x_1+x_2−x_3 =0} $.
Ho proceduto nella seguente maniera:
1. Mi sono scritto la matrice rispetto alla forma quadratica ovvero $A=((-1,0,-1),(0,1,1),(-1,1,0))$ e l'ho ridotta fino a trovare che ha rango pari a 2. Per la segnatura mi sono ricavato gli autovalori dal polinomio caratteristico utilizzando la matrice $((-1-\lambda,0,-1),(0,1-\lambda,1),(-1,1,-\lambda))$ . Gli autovalori sono: $\lambda_1=0$ $\lambda_2=3$ $\lambda_3=-3$. Da questi deduco che la segnatura sia $(1,1)$.
2. Il sottospazio $H$ dovrebbe essere l'autospazio relativo all'autovalore positivo ricavato cioè: $\lambda_2=3$ tuttavia quando vado a calcolarmi l'autospazio $V_3$mi ritrovo la soluzione nulla, come mai? dove sbaglio?
3. Mi sono ricavato una base di $F=L((-1,1,0) (1,0,1)) $. Fatto ciò mi sono riscritto la forma bilineare che deriva dalla forma quadratica $Q$, dove $φ(\bar x,\bar y)=-x_1y_1+x_2y_2-(x_1y_3+x_3y_1)+x_2y_3+x_3y_2) $. Ora mi ricavo $F^{\bot}$ che è dato dall'insieme delle seguenti soluzioni : $φ(\bar x,(-1,1,0)) $ e $φ(\bar x,(1,0,1)) $
Siete d'accordo su come l'ho impostato, grazie mille e buona giornata!
Si consideri la forma quadratica di $R^3$ :
$Q((x_1,x_2,x_3)) = −x_1^2 +x_2^2 −2x_1x_3 +2x_2x_3$ .
1. Calcolare il rango di $Q$ e la sua segnatura.
2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale $H$ di $R^3$ , se
esiste, su cui la forma quadratica $Q$ sia definita positiva.
3. Determinare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale ortogonale (rispetto
alla forma bilineare simmetrica $φ$ associata a $Q$), al piano vettoriale: $F ={(x_1,x_2,x_3)∈R^3 |x_1+x_2−x_3 =0} $.
Ho proceduto nella seguente maniera:
1. Mi sono scritto la matrice rispetto alla forma quadratica ovvero $A=((-1,0,-1),(0,1,1),(-1,1,0))$ e l'ho ridotta fino a trovare che ha rango pari a 2. Per la segnatura mi sono ricavato gli autovalori dal polinomio caratteristico utilizzando la matrice $((-1-\lambda,0,-1),(0,1-\lambda,1),(-1,1,-\lambda))$ . Gli autovalori sono: $\lambda_1=0$ $\lambda_2=3$ $\lambda_3=-3$. Da questi deduco che la segnatura sia $(1,1)$.
2. Il sottospazio $H$ dovrebbe essere l'autospazio relativo all'autovalore positivo ricavato cioè: $\lambda_2=3$ tuttavia quando vado a calcolarmi l'autospazio $V_3$mi ritrovo la soluzione nulla, come mai? dove sbaglio?
3. Mi sono ricavato una base di $F=L((-1,1,0) (1,0,1)) $. Fatto ciò mi sono riscritto la forma bilineare che deriva dalla forma quadratica $Q$, dove $φ(\bar x,\bar y)=-x_1y_1+x_2y_2-(x_1y_3+x_3y_1)+x_2y_3+x_3y_2) $. Ora mi ricavo $F^{\bot}$ che è dato dall'insieme delle seguenti soluzioni : $φ(\bar x,(-1,1,0)) $ e $φ(\bar x,(1,0,1)) $
Siete d'accordo su come l'ho impostato, grazie mille e buona giornata!
Risposte
Qualcuno che possa aiutarmi? grazie mille!
1 mi sembra OK. Al punto 2 dovresti trovare un autospazio di dimensione 1. Il punto 3 è impostato bene.
dissonance posso chiederti un ultimo dubbio: nel caso in cui avessi :
Dato l’endomorfismo $ f : R^4 → R^4 $ definito da: $ f((x,y,z,t)) = (0,0,x,y) $ , la matrice associata all'applicazione lineare la posso vedere come : $( (0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0) )$ ?
Dato l’endomorfismo $ f : R^4 → R^4 $ definito da: $ f((x,y,z,t)) = (0,0,x,y) $ , la matrice associata all'applicazione lineare la posso vedere come : $( (0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0) )$ ?
Rispetto alla base canonica, si. Ma cosa c'entra con la forma quadratica?
Con la forma quadratica nulla. Era un dubbio che mi era venuto questa mattina, perdona l'off topic!
Grazie e buona giornata
Grazie e buona giornata
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