Problema fastidioso sull' equazione della sfera.
Scusate il disturbo, sono nuovo del forum. Comunque vi voglio porre un problema che non riesco a risolvere perchè non so come procedere. Il quesito è:
scrivere l'equazione della sfera tangente gli assi coordinati e avente raggio r=radice di 2 e passante per P(2,2,1).... grazie per le eventuali risposte.
scrivere l'equazione della sfera tangente gli assi coordinati e avente raggio r=radice di 2 e passante per P(2,2,1).... grazie per le eventuali risposte.
Risposte
vi prego rispondete perchè domani ho un esame e sicuramente ci sarà un problema di questo tipo....
Prima che mi vengo un'idea valida, puoi passare da un metodo un po' contoso.
Scrivi l'equazione della sfera di raggio $sqrt(2)$ e centro $C(x_0,y_0,z_0)$. Imponendo che vi appartengano i vari punti (in fondo le equazioni si riducono e di molto poiché i punti sugli assi coordinati hanno un sacco di zeri) dovresti ottenere un sistema di $4$ equazioni in $4$ incognite. Risolvendolo ottieni l'equazione cercata.
Scrivi l'equazione della sfera di raggio $sqrt(2)$ e centro $C(x_0,y_0,z_0)$. Imponendo che vi appartengano i vari punti (in fondo le equazioni si riducono e di molto poiché i punti sugli assi coordinati hanno un sacco di zeri) dovresti ottenere un sistema di $4$ equazioni in $4$ incognite. Risolvendolo ottieni l'equazione cercata.
quini mi consigli di assumere dei punti generici appartenenti ai 3 assi e poi imporre il passaggio della sfera per questi?
Mi è venuto che si può
fare un'immediata semplificazione considerando che, per
simmetria, $x_0=y_0=z_0$.
fare un'immediata semplificazione considerando che, per
simmetria, $x_0=y_0=z_0$.
quindi???.....che vuol dire...non capisco scusa
le tre coordinate del centro sono uguali.
Pensaci: la sfera interseca i tre piani coordinati
in tre circonferenze uguali.
Ti basta poi considerare che la distanza dal centro da un asse è uguale al raggio.
L'altra condizione, di passaggio per il punto, ti
serve per stabilire quale allora, di due possibili valori 8che roverai), sia
quello per il tuo caso.
Pensaci: la sfera interseca i tre piani coordinati
in tre circonferenze uguali.
Ti basta poi considerare che la distanza dal centro da un asse è uguale al raggio.
L'altra condizione, di passaggio per il punto, ti
serve per stabilire quale allora, di due possibili valori 8che roverai), sia
quello per il tuo caso.
scusa il disturbo...ma se siamo nello spazio come fai a fare la distanza retta punto...
la distanza di un punto
da uno dei tre assi è facile: devi
considerare la distanza dal punto $(x_0,y_0,z_0)$ e la sua proiezione su quell'asse.
Cioè:
sull'asse delle $x$: $(x_0,0,0)$,
delle $y$: $(0,y_0,0)$
...
Così_la distanza dall'asse delle $x$, al quadrato, è: $d^2=(x_0-x_0)^2+(y_0-0)^2+(z_0-0)^2 =y_0^2+z_0^2$
da uno dei tre assi è facile: devi
considerare la distanza dal punto $(x_0,y_0,z_0)$ e la sua proiezione su quell'asse.
Cioè:
sull'asse delle $x$: $(x_0,0,0)$,
delle $y$: $(0,y_0,0)$
...
Così_la distanza dall'asse delle $x$, al quadrato, è: $d^2=(x_0-x_0)^2+(y_0-0)^2+(z_0-0)^2 =y_0^2+z_0^2$
Una volta stabilito che il centro [tex]$C$[/tex] si trova sulla retta di equazioni [tex]$x=y=z$[/tex] e dette [tex]$(a,a,a)$[/tex] le sue coordinate, l'equazione della sfera di centro [tex]$C$[/tex] e raggio [tex]$\sqrt{2}$[/tex] si scrive:
[tex]$(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=2$[/tex].
Ora dovresti saper concludere da solo.
[tex]$(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=2$[/tex].
Ora dovresti saper concludere da solo.
ascolta non riesco a farlo come dici tu....questo procedimento che ho intuito dal libro è giusto??....interseco l'equazione della sfera generica con gli assi e mi vengono rispettivamente a^2-d=0 b^2-d=0 c^2-d=0 poi impongo il passaggio per il punto P....e metto tutto a sistema...che ne dici??
ragazzi grazie a tutti del vostro tempo....vi ringrazio sono riuscito a risolvere il mio problema....comunque volevo chiedere l'ultima cosa visto che mi vengono 2 sfere quale devo scegliere tra le due....oppure devo prenderle tutte e due??? (ho risolto col metodo illustrato da gugo82)
C'è anche la condizione di passaggio per $P$
ma infatti ho sostituito le coordinate del punto P all'equazione e mi viene una equazione di secondo grado in a.....e mi trovo a=1 e a=7/3
secondo te che devo fare
Pensa che la sfera, di raggio $\sqrt2$ dev'essere
tangente agli assi, per cui le coordinate del centro hanno una limitazione.
tangente agli assi, per cui le coordinate del centro hanno una limitazione.
sto cercando di capire quale sia la limitazione.....ma non ci arrivo.....
che una coordinata
del centro non può avere modulo maggiore del raggio!
Così
la soluzione è $x_0=y_0=z_0=a=1$
del centro non può avere modulo maggiore del raggio!
Così
la soluzione è $x_0=y_0=z_0=a=1$
giusto giusto.....non ci avevo pensato!.....=( comunque grazie dell'aiuto=)
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