Problema esercizio su sottospazi
Allora ragazzi, ho questi due sottospazi :
U = L((0; 0; 1; 1); (1; 0; 0; 0); (0; 1; 0;-1));
W = L((0; 0; 1;-1); (0; 1; 0; 0); (1; 0; 0; 1));
L'esercizio mi chiede di trovare dimensione e rappresentazione cartesiana di U intersecato W, ma non riesco proprio a farlo.
Infatti mi trovo che le dimensioni di U e W sono 2, e mi trovo che la dim(U+W)=4, quindi per la regola di grassman mi viene che l'intersezione è 0 (la soluzione è 2).
Qualcuno sa aiutarmi?
U = L((0; 0; 1; 1); (1; 0; 0; 0); (0; 1; 0;-1));
W = L((0; 0; 1;-1); (0; 1; 0; 0); (1; 0; 0; 1));
L'esercizio mi chiede di trovare dimensione e rappresentazione cartesiana di U intersecato W, ma non riesco proprio a farlo.
Infatti mi trovo che le dimensioni di U e W sono 2, e mi trovo che la dim(U+W)=4, quindi per la regola di grassman mi viene che l'intersezione è 0 (la soluzione è 2).
Qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Prova a vedere se questo spunto ti può tornare utile... Altrimenti posta i conti, così possiamo controllarli insieme.
purtroppo non mi ha aiutato molto quel topic.
io ho posto a matrice i sottospazi singolarmente per trovarne una base, e mi trovo che per U (che mi viene di dim 2) una base è costituita dai primi due vettori, mentre per W, sempre di dim 2 secondo i miei conti (a meno che non possa scambiare di posizione due righe, altrimenti viene 1), ha una base costituita dal primo e dal terzo vettore.
a questo punto ho costruito la matrice U+W con le basi di entrambi, ma mi viene di dimensione 4, quindi per grassman mi troverei con U intersecato W di dimensione nulla.
io ho posto a matrice i sottospazi singolarmente per trovarne una base, e mi trovo che per U (che mi viene di dim 2) una base è costituita dai primi due vettori, mentre per W, sempre di dim 2 secondo i miei conti (a meno che non possa scambiare di posizione due righe, altrimenti viene 1), ha una base costituita dal primo e dal terzo vettore.
a questo punto ho costruito la matrice U+W con le basi di entrambi, ma mi viene di dimensione 4, quindi per grassman mi troverei con U intersecato W di dimensione nulla.
Veramente $U$ e $W$ hanno entrambi dimensione 3...
si effettivamente ora mi trovo, ma la dimensione è 3 poichè sposto ad entrami i sottospazi la terza riga sopra la prima?
inoltre sapresti dirmi se dato Wh = L((4h; 1;-2; 1); (1; h; 0; 1)); devo determinare i valori di h tali che Wh sia incluso o uguale a W.
non ho idea di come si faccia.
inoltre sapresti dirmi se dato Wh = L((4h; 1;-2; 1); (1; h; 0; 1)); devo determinare i valori di h tali che Wh sia incluso o uguale a W.
non ho idea di come si faccia.
Io uso questo procedimento per le intersezioni. E' più facile da fare che da spiegare, comunque:
hai
$U=L(u_1,u_2,u_3)$
$V=L(v_1,v_2,v_3)$
Costruisci la matrice $\bb A = (u_1^T,u_2^T,u_3^T,v_1^T,v_2^T,v_3^T)$.
Quindi nel nostro caso $\bbA$ è una matrice 4x6, giusto ?
Calcoli una base del Ker di $\bbA$, ok ?
Quindi esamini i vettori della base. I vettori sono a 6 elementi.
Tieni solo quei vettori che hanno un elemento non nullo nei primi 3 elementi E un elemento non nullo negli altri 3.
Es: $(0,0,0,1,2,0)$ lo scarti
$(1,0,0,0,0,1)$ lo tieni
Quindi, prendi i primi (risp. ultimi) 3 elementi dei vettori rimasti e quella è una base di U (risp. V) dell'intersezione $U \nn V$
hai
$U=L(u_1,u_2,u_3)$
$V=L(v_1,v_2,v_3)$
Costruisci la matrice $\bb A = (u_1^T,u_2^T,u_3^T,v_1^T,v_2^T,v_3^T)$.
Quindi nel nostro caso $\bbA$ è una matrice 4x6, giusto ?
Calcoli una base del Ker di $\bbA$, ok ?
Quindi esamini i vettori della base. I vettori sono a 6 elementi.
Tieni solo quei vettori che hanno un elemento non nullo nei primi 3 elementi E un elemento non nullo negli altri 3.
Es: $(0,0,0,1,2,0)$ lo scarti
$(1,0,0,0,0,1)$ lo tieni
Quindi, prendi i primi (risp. ultimi) 3 elementi dei vettori rimasti e quella è una base di U (risp. V) dell'intersezione $U \nn V$
"Giapan91":
si effettivamente ora mi trovo, ma la dimensione è 3 poichè sposto ad entrami i sottospazi la terza riga sopra la prima?
inoltre sapresti dirmi se dato Wh = L((4h; 1;-2; 1); (1; h; 0; 1)); devo determinare i valori di h tali che Wh sia incluso o uguale a W.
non ho idea di come si faccia.
Deve essere che $dim(U+W)=dim(U)$.
Allora sei sicuro che $W \sube U$.
Ragazzi mi sembra il posto giusto per chiedervelo...Ho bisogno solo di un si o un no...(il no motivato magari)
La questione è questa:
Io so che
U e W sono sottospazi di R4 e...
dim U = 2
dim W = 2
dim (U intersecato W) = 1
quindi ovviamente per Grassman io posso dire che:
Dim (U + W) = 2 + 2 -1 = 3
Se adesso io so solamente questo...cioè che la dimensione è 3, per trovare una base posso dire che si può prendere la base canonica di R3 visto che ovviamente dim R3 = 3 ???????
Cioè è giusto dire che una base di U+W = < (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)>
????
Grazie infinite delle risposte!!
ciao ciao
La questione è questa:
Io so che
U e W sono sottospazi di R4 e...
dim U = 2
dim W = 2
dim (U intersecato W) = 1
quindi ovviamente per Grassman io posso dire che:
Dim (U + W) = 2 + 2 -1 = 3
Se adesso io so solamente questo...cioè che la dimensione è 3, per trovare una base posso dire che si può prendere la base canonica di R3 visto che ovviamente dim R3 = 3 ???????
Cioè è giusto dire che una base di U+W = < (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)>
????
Grazie infinite delle risposte!!
ciao ciao
Certo che no. Prima di tutto perché lo spazio vettoriale in cui lavori è $RR^4$, non $RR^3$.
Per trovare una base dell'intersezione dovresti avere basi di $U$ e di $W$ (quattro vettori in tutto) e scartare un vettore in modo che i rimanenti tre siano linearmente indipendenti.
Per trovare una base dell'intersezione dovresti avere basi di $U$ e di $W$ (quattro vettori in tutto) e scartare un vettore in modo che i rimanenti tre siano linearmente indipendenti.
Scusami ti pongo un altro quesito collegato agli stessi argomenti,
Conosco
\(\displaystyle U = <(1,3,0,-2) , (0,-2,1,-1)> \) e \(\displaystyle U^\perp = <(3,-1,-2,0),(2,0,1,1)> \)
entrambi sottospazi di \(\displaystyle R^4 \)
Mi si chiede se esiste un sottospazio \(\displaystyle L\subset R^4 \) tale che \(\displaystyle L \oplus U =R^4 \) e \(\displaystyle L \oplus U^\perp =R^4 \) e in caso di risposta affermativa determinarne una base...
Conosco
\(\displaystyle U = <(1,3,0,-2) , (0,-2,1,-1)> \) e \(\displaystyle U^\perp = <(3,-1,-2,0),(2,0,1,1)> \)
entrambi sottospazi di \(\displaystyle R^4 \)
Mi si chiede se esiste un sottospazio \(\displaystyle L\subset R^4 \) tale che \(\displaystyle L \oplus U =R^4 \) e \(\displaystyle L \oplus U^\perp =R^4 \) e in caso di risposta affermativa determinarne una base...
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