Problema esercizio somma sottospazi
Ciao ragazzi..
ho il seguente esercizio:
nello spazio vettoriale $RR^4$ si considerino i sottospazi $W=L(v_1,v_2,v_3)$, con $v_1=(1,0,1,-1)$, $v_2=(h,1,0,1)$, $v_3=(0,-h,1,0)$, $h in RR$ e $V={(x,y,z,t)|z=t=0}$
Devo verificare che per ogni $h in RR$ si ha $RR^4=V+W$.
Devo quindi verificare che la dimensione della somma sia $4$ e per far ciò utilizzo la formula di Grassmann: $Dim(V+W)=Dim(W)+Dim(V)-Dim(W nn V)$. Spero di non aver detto troppe cavolate finora
A questo punto ricavo l'equazione cartesiana del sottospazio $W$ mediante il determinante della matrice:
$((1,0,1,1),(h,1,0,1),(0,-h,1,0),(x,y,z,t))$ ed ottengo che l'equazione è $2x-(h+1)y-(h+1)z-(h+1)t=0$.
A tal punto posso quindi calcolarmi la dimensione dell'intersezione tra i due sottospazi, risolvendo il semplice sistema: $\{(2x-(h+1)y-(h+1)z-(h+1)t=0),(z=t=0):}$ $->$ $\{(x=((h+1)/2)y),(z=t=0):}$ $->$ $(((h+1)/2)y, y, 0, 0)$ $-> Dim(V nn W) = 1$
Quindi ricavo la dimensione del sottospazio $W$, mediante il suo rango:
$((1,0,1,1),(h,1,0,1),(0,-h,1,0))$, ed ottengo che la matrice ha $rango=Dim=3$ se $h!=-1$.
La dimensione di $V$ sarà invece $2$ dato che$V={(x,y,z,t)|z=t=0}={(x,y,0,0)}$ ($2 variabili, Dim=2$$<-$ corretto questo passaggio?).
Infine mediante la formula di Grassmann ricavo la dimensione della somma dei due sottospazi: $Dim(V+W)=Dim(W)+Dim(V)-Dim(W nn V) = 3+2-1 = 4$. Il problema è che $DimW=3$ solo se $h!=1$. Cosa mi sfugge??
Ho fatto qualche errore nello svolgimento?
Grazie anticipatamente a tutti ^^
ho il seguente esercizio:
nello spazio vettoriale $RR^4$ si considerino i sottospazi $W=L(v_1,v_2,v_3)$, con $v_1=(1,0,1,-1)$, $v_2=(h,1,0,1)$, $v_3=(0,-h,1,0)$, $h in RR$ e $V={(x,y,z,t)|z=t=0}$
Devo verificare che per ogni $h in RR$ si ha $RR^4=V+W$.
Devo quindi verificare che la dimensione della somma sia $4$ e per far ciò utilizzo la formula di Grassmann: $Dim(V+W)=Dim(W)+Dim(V)-Dim(W nn V)$. Spero di non aver detto troppe cavolate finora
A questo punto ricavo l'equazione cartesiana del sottospazio $W$ mediante il determinante della matrice:
$((1,0,1,1),(h,1,0,1),(0,-h,1,0),(x,y,z,t))$ ed ottengo che l'equazione è $2x-(h+1)y-(h+1)z-(h+1)t=0$.
A tal punto posso quindi calcolarmi la dimensione dell'intersezione tra i due sottospazi, risolvendo il semplice sistema: $\{(2x-(h+1)y-(h+1)z-(h+1)t=0),(z=t=0):}$ $->$ $\{(x=((h+1)/2)y),(z=t=0):}$ $->$ $(((h+1)/2)y, y, 0, 0)$ $-> Dim(V nn W) = 1$
Quindi ricavo la dimensione del sottospazio $W$, mediante il suo rango:
$((1,0,1,1),(h,1,0,1),(0,-h,1,0))$, ed ottengo che la matrice ha $rango=Dim=3$ se $h!=-1$.
La dimensione di $V$ sarà invece $2$ dato che$V={(x,y,z,t)|z=t=0}={(x,y,0,0)}$ ($2 variabili, Dim=2$$<-$ corretto questo passaggio?).
Infine mediante la formula di Grassmann ricavo la dimensione della somma dei due sottospazi: $Dim(V+W)=Dim(W)+Dim(V)-Dim(W nn V) = 3+2-1 = 4$. Il problema è che $DimW=3$ solo se $h!=1$. Cosa mi sfugge??
Ho fatto qualche errore nello svolgimento?
Grazie anticipatamente a tutti ^^
Risposte
se $h != -1 -> dim W = 3$ ovvero se $h = -1 -> dim W = 2$ poichè i tre vettori sono uguali al vettore nullo per coeficienti non tutti nulli. Verifica che una $dim (W nn V) = 0 => W + V -= R^4$ ovvero che
$W = {(1, 0, 1, -1), (-1, 1, 0, 1)}, V = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}$ sono una base di $R^4$ cioè che sono linearmente indipendenti.
$W = {(1, 0, 1, -1), (-1, 1, 0, 1)}, V = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}$ sono una base di $R^4$ cioè che sono linearmente indipendenti.
non ho capito o.o
potresti rispiegarlo meglio?xD
potresti rispiegarlo meglio?xD
se $h = -1$ allora $dim(W) = rango((1,0,1,-1),(-1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)) = 2$
$V$ ha dimensione $2$ e una sua base è data dalle righe della matrice $((1, 0, 0, 0),(0, 1 ,0 ,0))$
verifichiamo che $dim (U nn W) = 0$ cioè che il determinante della matrice che ha per righe le basi di $W , V$ deve essere diversa da $0$
$det( (1,0,1,-1),(-1, 1, 0, 1),(1, 0, 0, 0),(0, 1 ,0 ,0) ) != 0$ ovvero i vettori sono linearmente indipendenti in quanto nessuna riga o colonna è combinazione lineare dei vettori restanti, lo spazio intersezione è la soluzione del sistema lineare omogeneo associatio alla matrice cioè il vettore dei coeficienti della combinazione lineare, il quale è il vettore nullo quindi $dim(V+W) = dim(V) + dim(W) - dim(U nn W) = 2 + 2 + 0 = 4$
$V$ ha dimensione $2$ e una sua base è data dalle righe della matrice $((1, 0, 0, 0),(0, 1 ,0 ,0))$
verifichiamo che $dim (U nn W) = 0$ cioè che il determinante della matrice che ha per righe le basi di $W , V$ deve essere diversa da $0$
$det( (1,0,1,-1),(-1, 1, 0, 1),(1, 0, 0, 0),(0, 1 ,0 ,0) ) != 0$ ovvero i vettori sono linearmente indipendenti in quanto nessuna riga o colonna è combinazione lineare dei vettori restanti, lo spazio intersezione è la soluzione del sistema lineare omogeneo associatio alla matrice cioè il vettore dei coeficienti della combinazione lineare, il quale è il vettore nullo quindi $dim(V+W) = dim(V) + dim(W) - dim(U nn W) = 2 + 2 + 0 = 4$
scusa ma non ti seguo...
allora ricapitoliamo..
CASO $h!=-1$:
$\{(Dim W = 3),(Dim V = 2),(Dim (W nn V) = 1):}$ $->$ $Dim(V+W)=3+2-1=4$
CASO $h=-1$:
$\{(Dim W = 2),(Dim V = 2):}$
$Dim(W nn V) = \{(Equaz. W),(Equaz. V):} = \{(2x-(h+1)y-(h+1)z+(-h+1)t=0),(z=t=0):} = \{(x=-t=0),(z=t=0):} -> (0,y,0,0)$ quindi $Dim(W nn V) = 1$ no??
allora ricapitoliamo..
CASO $h!=-1$:
$\{(Dim W = 3),(Dim V = 2),(Dim (W nn V) = 1):}$ $->$ $Dim(V+W)=3+2-1=4$
CASO $h=-1$:
$\{(Dim W = 2),(Dim V = 2):}$
$Dim(W nn V) = \{(Equaz. W),(Equaz. V):} = \{(2x-(h+1)y-(h+1)z+(-h+1)t=0),(z=t=0):} = \{(x=-t=0),(z=t=0):} -> (0,y,0,0)$ quindi $Dim(W nn V) = 1$ no??
Qualcuno sa rispondermi?ò.O
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