Problema esercizio equazioni parametriche rette
Salve, sto svolgendo un esercizio di geometria analitica sulle equazioni parametriche:
Data la retta r di equazioni parametriche
{ x=1+3t
{ y = 2+t (le due equazioni sono a sistema xD)
Sia poi s la retta passante per i punti di coordinate (0,a) e (2,-1) , si stabilisca per quali valori di a le rette r ed s si intersecano, e si determinino le coordinate dell'eventuale punto di intersezione.
Io ho svolto l'esercizio in questo modo:
Ho scritto l'equazione parametrica della retta s
{x=2t'
{y= a + (-1-a)t'
E poi unito i due sistemi, in modo da verificarne la compatibilità e l'eventuale soluzione
e mi sono trovato davanti questo
{1+3t=2t'
{2+t=a+(-1-a)t'
Che non sono in grado di risolvere, poichè essendo un sistema di due equazioni in tre incognite riesco solo a trovare infiniti valori, al variare di una delle variabili, mentre il mio libro propone come soluzione a=-1 e come punto di intersezione (-8,-1)
Come ha raggiunto il valore -1? Ho provato davvero in ogni modo, vi prego di aiutarmi! ç.ç
Grazie per l'attenzione!
Data la retta r di equazioni parametriche
{ x=1+3t
{ y = 2+t (le due equazioni sono a sistema xD)
Sia poi s la retta passante per i punti di coordinate (0,a) e (2,-1) , si stabilisca per quali valori di a le rette r ed s si intersecano, e si determinino le coordinate dell'eventuale punto di intersezione.
Io ho svolto l'esercizio in questo modo:
Ho scritto l'equazione parametrica della retta s
{x=2t'
{y= a + (-1-a)t'
E poi unito i due sistemi, in modo da verificarne la compatibilità e l'eventuale soluzione
e mi sono trovato davanti questo
{1+3t=2t'
{2+t=a+(-1-a)t'
Che non sono in grado di risolvere, poichè essendo un sistema di due equazioni in tre incognite riesco solo a trovare infiniti valori, al variare di una delle variabili, mentre il mio libro propone come soluzione a=-1 e come punto di intersezione (-8,-1)
Come ha raggiunto il valore -1? Ho provato davvero in ogni modo, vi prego di aiutarmi! ç.ç
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Il sistema è di due equazioni in due incognite.
$a$ va inteso come parametro. Le equazioni si possono riscrivere così (uso $u$ al posto di $t'$)
$3t-2u=-1\qquad t+(1+a)u=a-2$
Per risolvere questo puoi usare, ad esempio, la regola di Cramer per stabilire quando esiste soluzione (unica) o quando esso è incompatibile o indefinito. Tutto ciò dipende da $a$.
$a$ va inteso come parametro. Le equazioni si possono riscrivere così (uso $u$ al posto di $t'$)
$3t-2u=-1\qquad t+(1+a)u=a-2$
Per risolvere questo puoi usare, ad esempio, la regola di Cramer per stabilire quando esiste soluzione (unica) o quando esso è incompatibile o indefinito. Tutto ciò dipende da $a$.
Sisi, ho provato a risolverlo, il problema è che lui mi chiede per quale valore di a le due rette si incontrano. In pratica credo di dover calcolare per quale valore di a il sistema è compatibile e ammette una soluzione. Io è qui che mi blocco, poichè con Cramer mi trovo solo risultati con a che io non so come utilizzare. Chiedo scusa, so di chiedere molto, ma potreste scrivermi come svolgereste l'esercizio? E' l'unico che non sono riuscito a fare... Grazie ancora...
La matrice dei coefficienti è
$((3, -2),(1, 1+a))$
e pertanto il determinante è $\Delta=3+3a+2=5+3a$. Il sistema è compatibile (ammette una sola soluzione) quando $a\ne -5/3$. In tal caso essendo
$\Delta_t=|(-1, -2),(a-2, 1+a)|=-1-a+2a-4=a-5$,
$\Delta_u=|(3, -1),(1, a-2)|=3a-6+1=3a-5$
si ha $t={\Delta_t}/{\Delta}={a-5}/{5+3a}$, $u={\Delta_u}/{\Delta}={3a-5}/{5+3a}$.
Se invece $a=-5/3$ il sistema si riduce alla sola equazione
$3t-2u=-1$ che ammette le infinite soluzioni $(\alpha, {3\alpha+1}/{2})$.
Per $a\ne -5/3$ puoi vedere da te, basta fare un po' di calcoli, che i punti di intersezione hanno le coordinate
$({2(3a-5)}/{5+3a},{7a+5}/{5+3a})$
e nel caso $a=-1$ si ha $(-8,-1)$. (Ma il perché scelga solo quel valore, non l'ho capito).
$((3, -2),(1, 1+a))$
e pertanto il determinante è $\Delta=3+3a+2=5+3a$. Il sistema è compatibile (ammette una sola soluzione) quando $a\ne -5/3$. In tal caso essendo
$\Delta_t=|(-1, -2),(a-2, 1+a)|=-1-a+2a-4=a-5$,
$\Delta_u=|(3, -1),(1, a-2)|=3a-6+1=3a-5$
si ha $t={\Delta_t}/{\Delta}={a-5}/{5+3a}$, $u={\Delta_u}/{\Delta}={3a-5}/{5+3a}$.
Se invece $a=-5/3$ il sistema si riduce alla sola equazione
$3t-2u=-1$ che ammette le infinite soluzioni $(\alpha, {3\alpha+1}/{2})$.
Per $a\ne -5/3$ puoi vedere da te, basta fare un po' di calcoli, che i punti di intersezione hanno le coordinate
$({2(3a-5)}/{5+3a},{7a+5}/{5+3a})$
e nel caso $a=-1$ si ha $(-8,-1)$. (Ma il perché scelga solo quel valore, non l'ho capito).
Ti ringrazio infinitamente per il tempo che mi hai dedicato, e sei stato gentilissimo a svolgere l'esercizio! Io mi sono fermato all' a≠−5/3 poichè ero convinto di stare sbagliando data la soluzione del libro! Grazie mille!!!
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