Problema Esercizio Assegnato Matrice Invertibile
Sera, ragazzi l'esercizio dice : Sia A una matrice invertibile, dimostrare che anche \(\displaystyle A^n \) è una matrice invertibile e \(\displaystyle (A^n)^{-1}=(A^{-1})^n \) . Le cose da cui potrei partire sono che se la matrice è invertibile allora il rank(A)=n(massimo) o il det(A) è diverso da zero. Per dimostrare che \(\displaystyle A^n \) è invertibile posso vedere \(\displaystyle A^n= A*....*A \) n volte cioè quindi n volte il prodotto di A ed essendo A invertibile allora esisteranno n matrici che chiamo \(\displaystyle X \in R^{n,n} \) tale che \(\displaystyle AX=XA=I \). Il problema è dimostrare come \( \displaystyle (A^n)^{-1}=(A^{-1})^n \). Potete suggerirmi qualcosina per poter dar inizio alla dimostrazione?
grazie mille!
grazie mille!
Risposte
Ciao!
Perchè non provi per induzione su $n$? Secondo me si presta molto bene a questo tipo di dimostrazione.
Suggerimento: Considera che $GL(n,\mathbb{R})$ è un gruppo i cui elementi sono tutte e sole le matrici reali invertibili $n \times n$. In generale, in ogni gruppo $(G,\cdot)$ vale che $\forall x,y \in G$, $(x\cdot y)^-1 = y^-1 \cdot x^-1$.
Perchè non provi per induzione su $n$? Secondo me si presta molto bene a questo tipo di dimostrazione.
Suggerimento: Considera che $GL(n,\mathbb{R})$ è un gruppo i cui elementi sono tutte e sole le matrici reali invertibili $n \times n$. In generale, in ogni gruppo $(G,\cdot)$ vale che $\forall x,y \in G$, $(x\cdot y)^-1 = y^-1 \cdot x^-1$.
Isaac888 ogni nuovo post che apro mi suggerisci sempre un nuovo modo di dimostrare le cose ed è fantastica come cosa!
Il gruppo lineare lo abbiamo definito ieri \(\displaystyle G,L=( { A \in R^{n,n}| rank(A)=n} ) = ( {A \in R^{n,n}| \exists A^{-1}}) \) ma non siamo andati oltre con la spiegazione.
Per induzione, dici di porre \(\displaystyle P(n)= (A^n)^{-1} \) , e verificare che per \(\displaystyle P(0) \) sia vero, e successivamente ipotizzare che per n valga lo stesso e lavorare su \(\displaystyle P(n+1) \) ? Però, mi viene un dubbio come faccio a sostenere che una matrice elevata alla zero, possa effettivamente dare una matrice formata da numeri uno? probabilmente, quasi certo , mi sto sbagliando con questi ragionamenti ahah .
Isaac888 grazie mille per la disponibilità!
Il gruppo lineare lo abbiamo definito ieri \(\displaystyle G,L=( { A \in R^{n,n}| rank(A)=n} ) = ( {A \in R^{n,n}| \exists A^{-1}}) \) ma non siamo andati oltre con la spiegazione.
Per induzione, dici di porre \(\displaystyle P(n)= (A^n)^{-1} \) , e verificare che per \(\displaystyle P(0) \) sia vero, e successivamente ipotizzare che per n valga lo stesso e lavorare su \(\displaystyle P(n+1) \) ? Però, mi viene un dubbio come faccio a sostenere che una matrice elevata alla zero, possa effettivamente dare una matrice formata da numeri uno? probabilmente, quasi certo , mi sto sbagliando con questi ragionamenti ahah .
Isaac888 grazie mille per la disponibilità!
se $A$ è una matrice invertibile ( per non aver confusione con la $n$ supponiamo che $A$ sia di ordine $m$) quindi $detA \ne 0$
usando una proprietà del determinante $det(A^n)=det^n(A) \ne 0$ quindi $A^n$ è invertibile.
oppure possiamo procedere per induzione
per $n=0$
$A^0=I$ invertibile
per una $n$ fissata
supponiamo che $ A^n$ sia invertibile e dimostriamo che $A^(n+1)$ lo è anche.
$A^(n+1)=A^n.A$ per supposizione $ A^n$ è una matrice è invertibile ed $A$ anche e siccome $GL_m(\R)$ è un gruppo si conclude che $A^(n+1) \in GL_m(\R)$
$GL_n(R)$ è un gruppo quindi $\forall A,B \in GL_n(R)$ abbiamo $(A.B)^(-1)=B^(-1).A^(-1)$
dimostriamo per induzione che $\forall A \in GL_n(R)$ abbiamo $(A^n)^(-1)=(A^(-1))^n$
per $n=0$ è ovvio
supponiamo la proprietà vera per $n$ e dimostriamo che lo è per $n+1$
$(A^(n+1))^(-1)=(A^n.A)^(-1)=A^(-1).(A^n)^(-1)=A^(-1).(A^(-1))^n=(A^(-1))^(n+1)$
usando una proprietà del determinante $det(A^n)=det^n(A) \ne 0$ quindi $A^n$ è invertibile.
oppure possiamo procedere per induzione
per $n=0$
$A^0=I$ invertibile
per una $n$ fissata
supponiamo che $ A^n$ sia invertibile e dimostriamo che $A^(n+1)$ lo è anche.
$A^(n+1)=A^n.A$ per supposizione $ A^n$ è una matrice è invertibile ed $A$ anche e siccome $GL_m(\R)$ è un gruppo si conclude che $A^(n+1) \in GL_m(\R)$
$GL_n(R)$ è un gruppo quindi $\forall A,B \in GL_n(R)$ abbiamo $(A.B)^(-1)=B^(-1).A^(-1)$
dimostriamo per induzione che $\forall A \in GL_n(R)$ abbiamo $(A^n)^(-1)=(A^(-1))^n$
per $n=0$ è ovvio
supponiamo la proprietà vera per $n$ e dimostriamo che lo è per $n+1$
$(A^(n+1))^(-1)=(A^n.A)^(-1)=A^(-1).(A^n)^(-1)=A^(-1).(A^(-1))^n=(A^(-1))^(n+1)$
"Dave95":
Isaac888 ogni nuovo post che apro mi suggerisci sempre un nuovo modo di dimostrare le cose ed è fantastica come cosa!
Ti ringrazio degli apprezzamenti
... A me sarebbe piaciuto tanto avere di questi suggerimenti, perciò lo faccio con piacere!Comunque Karmal19 ha fatto esattamente quello che ti stavo cercando di far capire. Solo che il mio intento era di fartici arrivare con le tue forze! Comunque, l'insegnamento di questo esercizio è quello di farti notare quanto è naturale applicare il principio di induzione per dimostrare alcuni teoremi di algebra lineare che presentano alcune caratteristiche (come ad esempio la presenza di un "n" da qualche parte). Sappi solo che i teoremi della teoria che si studiano in questo corso (fra cui molti dei più importanti) si dimostrano per induzione (te lo dico per un eventuale orale!).
E' normale che agli inizi manchino le idee per cominciare a dimostrare! Questo dipende dalla scarsa esperienza. Smontando e rimontando (capendo) i teoremi della teoria, quando avrai a che fare con gli esercizi, ti verrà naturale riadattare quello che hai visto. Il gioco sta quasi tutto lì. Non nego che bisogna comunque sviluppare delle abilità (nel tempo), oltre all'esperienza. Ma questo vale solo per le dimostrazioni meno standard.
"Dave95":
Per induzione, dici di porre P(n)=(An)−1 , e verificare che per P(0) sia vero, e successivamente ipotizzare che per n valga lo stesso e lavorare su P(n+1) ?
Dico di vedere questo. La tesi è che per ogni $n$ si ha $(A^-1)^n = (A^n)^-1$.
1)è vera la tesi se $n=0$? (verificare!)
2)è vera la tesi se $n=1$? (verificare!)
3)(passo induttivo): Supponiamo che sia vero che $(A^-1)^n = (A^n)^-1$ (ipotesi induttiva), allora, grazie a questa informazione (e col mio suggerimento) si arriva a dire che $(A^-1)^{n+1} = (A^{n+1})^-1$? Se sì, ho dimostrato la tesi.
"Dave95":
come faccio a sostenere che una matrice elevata alla zero, possa effettivamente dare una matrice formata da numeri uno?
E' una proprietà dei gruppi moltiplicativi, come lo è $GL(n,\mathbb{R})$.
Sia $(G,\cdot)$ un gruppo (moltiplicativo), $\forall x \in G$, $x^0 = x^{1+(-1)} = x^1 \cdot x^{-1} = x \cdot x^-1 = e_G$ (perchè nei gruppi, come ti dicevo, si può parlare di inverso moltiplicativo per ogni elemento del gruppo!).
$e_G$ è l'identità moltiplicativa (meglio conosciuto come $1$).
Nel caso di $GL(n,\mathbb{R})$, l'identità moltiplicativa è la matrice identica.
Ragazzi, geniale l'induzione!
Ho seguito Isaac888 su come procedere per induzione e effettivamente mi riconduco poi dopo tot passaggi all'ipotesi iniziale che conferma ciò che mi chiede l'esercizio! Fantastico!
Eh si , Isaac888 hai ragione, essendo a me nuova come materia fatico un po' anche se devo dire che sto trovando più difficoltà in geometria e algebra lineare che analisi matematica 1(superato al primo colpo ).
Ultimo dubbio, kamal19 o Isaac888, per dire nella prima richiesta dell'esercizio cioè dimostrare che \(\displaystyle A^n \) è invertibile , \(\displaystyle A^n \)posso vederla come \(\displaystyle A^n= A*(N volte)* A \) e quindi \(\displaystyle det(A^n)= det(A)*(n volte)*det(A) \) ed il prodotto di n volte il det(A) è sempre diverso da zero in quanto \(\displaystyle det(A)!=0 \) ?
grazie mille siete gentilissimi e non smetterò mai di dirlo !
Ho seguito Isaac888 su come procedere per induzione e effettivamente mi riconduco poi dopo tot passaggi all'ipotesi iniziale che conferma ciò che mi chiede l'esercizio! Fantastico!
Eh si , Isaac888 hai ragione, essendo a me nuova come materia fatico un po' anche se devo dire che sto trovando più difficoltà in geometria e algebra lineare che analisi matematica 1(superato al primo colpo ).
Ultimo dubbio, kamal19 o Isaac888, per dire nella prima richiesta dell'esercizio cioè dimostrare che \(\displaystyle A^n \) è invertibile , \(\displaystyle A^n \)posso vederla come \(\displaystyle A^n= A*(N volte)* A \) e quindi \(\displaystyle det(A^n)= det(A)*(n volte)*det(A) \) ed il prodotto di n volte il det(A) è sempre diverso da zero in quanto \(\displaystyle det(A)!=0 \) ?
grazie mille siete gentilissimi e non smetterò mai di dirlo !
Ragazzi , scusatemi un secondo , ma come faccio ad affermare che la \(\displaystyle A^0=I \) ? Pensandoci mi sfugge come cosa e in più potrebbe essere corretta come dimostrazione su cosa dire del \(\displaystyle det(A) \) dove A è antisimmetrica cioè so che la matrice antisimmetrica e si scrive come \(\displaystyle ^tA =-A\) tale che \(\displaystyle det(^tA)=det(A) \) e \(\displaystyle det(-A)=- det(A) \) allora \(\displaystyle det(A)+det(A)=0 \) allora posso concludere che \(\displaystyle det(A)=0 \)?
scusate l'insistenza! perdonatemi ma è meraviglioso avere dei compagni di avventura per lo studio!
scusate l'insistenza! perdonatemi ma è meraviglioso avere dei compagni di avventura per lo studio!
"Dave95":
\(\displaystyle A^n \)posso vederla come \(\displaystyle A^n= A*(N volte)* A \) e quindi \(\displaystyle det(A^n)= det(A)*(n volte)*det(A) \) ed il prodotto di n volte il det(A) è sempre diverso da zero in quanto \(\displaystyle det(A)!=0 \) ?
Sì, è così! Puoi sfruttare il determinante attraverso il teorema di Binet, come hai fatto tu! Ma non è certo l'unico modo!
Ad esempio, se ti può interessare, c'è un teorema che dice che:
Prop: Se $A\in \mathcal{M}(n,k,\mathbb{K})$ e $B\in \mathcal{M}(k,m,\mathbb{K})$, allora $rk(A\cdot B)\leq min(rk(A),rk(B))$.
Comunque questo metodo è più utile quando hai un prodotto di matrici non quadrate, di cui non puoi fare il determinante.
Quando puoi fare il determinante è meglio quello che hai detto tu!
PS: Tu hai usato Binet sul prodotto di $n$ matrici. Hai dato per scontato che funzioni (ed in effetti funziona!), anche se in realtà andrebbe dimostrato anche quello per induzione! Cioè che il determinante del prodotto di $n$ matrici quadrate uguali è il prodotto dei loro determinanti. Questa volta devi usare come idea dell'induzione il fatto che sappiamo già che Binet funziona su sole due matrici.
"Dave95":
ma come faccio ad affermare che la $A^0=I$ ?
Te l'ho spiegato nel post di prima perchè!
"Dave95":
potrebbe essere corretta come dimostrazione su cosa dire del $det(A)$ dove $A$ è antisimmetrica cioè so che la matrice antisimmetrica e si scrive come \( \displaystyle ^tA =-A \) tale che \( \displaystyle det(^tA)=det(A) \) e $det(−A)=−det(A)$ allora $det(A)+det(A)=0$ allora posso concludere che $det(A)=0$?
Non ho capito niente!
"Dave95":
\( \displaystyle det(^tA)=det(A) \)
Questa è vera...
"Dave95":
$det(−A)=−det(A)$
Questa è falsa! Prendi $A = I$, dove $I$ è la matrice identità 4x4, calcola $det(-A)$ e poi vedi...
"Dave95":
allora $det(A)+det(A)=0$ allora posso concludere che $det(A)=0$
Non si capisce nè come lo deduci, nè a cosa ti serva fare tutto questo...
Mi scuso per la fretta causata dalla cena ho saltato la lettura, ok ho capito perché \(\displaystyle A^0=I \). L'esercizio che ho aggiunto mi chiede semplicemente: Sia A una matrice antisimmetrica. Che cosa si può dire su det(A)?
Di sicuro non puoi concludere che $det(A)=0$! Prendi $A=((0,1),(-1,0))$ ad esempio... L'idea che dicevi prima tu è giusta! Solo che non è vero che $det(-A)=-det(A)$... o almeno non sempre!
Ti faccio due domande:
1)$det(a\cdot I)=$?
2)$det(a\cdot A)=$?
dove $a \in \mathbb{R}$, $A$ matrice qualsiasi $n$x$n$ ed $I$ identità $n$x$n$
Ti faccio due domande:
1)$det(a\cdot I)=$?
2)$det(a\cdot A)=$?
dove $a \in \mathbb{R}$, $A$ matrice qualsiasi $n$x$n$ ed $I$ identità $n$x$n$
1)$ det(a\cdot I)= $ prodotto elementi diagonale
2)$ det(a\cdot A)= a^n det(A) $
considerando $ a!= 0 $
spero siano giuste.
2)$ det(a\cdot A)= a^n det(A) $
considerando $ a!= 0 $
spero siano giuste.
"Dave95":
1)$ det(a\cdot I)= $ prodotto elementi diagonale
2)$ det(a\cdot A)= a^n det(A) $
considerando $ a!= 0 $
spero siano giuste.
Sì, ora sono giuste!
Ok, perfetto, finalmente qualcosa di giusto ahah .
Isaac888 per questo esercizio: sia A una matrice antisimmetrica. Che cosa si può dire su det(A)?
ho ragionato nuovamente questa mattina su come procedere ed ho buttato giù questa dimostrazione ma non sono sicuro . Io so per definizione di matrice antisimmetrica che \(\displaystyle ^t A=-A \), giusto? siccome devo ragionare sul determinante di tale matrice so che il primo membro lo vedo come \(\displaystyle det(^tA)=det(A) \) per le proprietà del determinante mentre il secondo membro come $ (-1)^{k } det(A)$, è corretta tale cosa?
Quindi $ det(A)= (-1)^{k} det(A)$ se $k $ è dispari allora det(A)=0
potrebbe andare ?
Isaac888 per questo esercizio: sia A una matrice antisimmetrica. Che cosa si può dire su det(A)?
ho ragionato nuovamente questa mattina su come procedere ed ho buttato giù questa dimostrazione ma non sono sicuro . Io so per definizione di matrice antisimmetrica che \(\displaystyle ^t A=-A \), giusto? siccome devo ragionare sul determinante di tale matrice so che il primo membro lo vedo come \(\displaystyle det(^tA)=det(A) \) per le proprietà del determinante mentre il secondo membro come $ (-1)^{k } det(A)$, è corretta tale cosa?
Quindi $ det(A)= (-1)^{k} det(A)$ se $k $ è dispari allora det(A)=0
potrebbe andare ?
Direi che può andare!
Isaac888 sei grande! mi stai facendo amare la geometria (anche se è molto presto per dirlo ahah )
"Dave95":
Isaac888 sei grande! mi stai facendo amare la geometria (anche se è molto presto per dirlo ahah )
Io posso dire che sia in assoluto la mia materia preferita!
Purtroppo questa materia non mi ha ripagato sempre con lo stesso amore, ma questa è un'altra storia
.Tu continua così che vai bene
.
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