Problema esercizi di Algebra e Geometria
Salve, ho un problema su due esercizi (in realtà su uno, sull'altro vorrei avere una conferma).
il primo:
Sia r una retta generica appartenente a R^2.
E sia F:R^2-->R^3
Si dica che aspetto ha F(r).
Ora, per me i casi sono due:
-dimKer=1 e dimImf=1, in tal caso l'immagine della retta è la retta stessa.
-dimKer=0 e dimImf=2, in tal caso ci sarebbero due piani che intersecandosi generano la retta.
Ma sono molto dubbioso, sinceramente. Come può essere svolto?
Il secondo: In R^3, scrivere la riflessione rispetto al piano perpendicolare (con l'usuale prodotto scalare) di un generico vettore v.
Allora, io ho stabilito endomorfismo fra R^3-->R^3 tale che F(e1)=e1, F(e2)=e2, F(e3)=e3
Ora, chiede la riflessione rispetto al piano perpendicolare, cioè l'asse Z. Quindi in questo caso
l'applicazione diventa: F(e1)=e1, F(e2)=e2, F(e3)=-e3
quindi la matrice associata al prodotto scalare standard è:
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0-1)
Che ne dite?
Attendo vostre risposte
il primo:
Sia r una retta generica appartenente a R^2.
E sia F:R^2-->R^3
Si dica che aspetto ha F(r).
Ora, per me i casi sono due:
-dimKer=1 e dimImf=1, in tal caso l'immagine della retta è la retta stessa.
-dimKer=0 e dimImf=2, in tal caso ci sarebbero due piani che intersecandosi generano la retta.
Ma sono molto dubbioso, sinceramente. Come può essere svolto?
Il secondo: In R^3, scrivere la riflessione rispetto al piano perpendicolare (con l'usuale prodotto scalare) di un generico vettore v.
Allora, io ho stabilito endomorfismo fra R^3-->R^3 tale che F(e1)=e1, F(e2)=e2, F(e3)=e3
Ora, chiede la riflessione rispetto al piano perpendicolare, cioè l'asse Z. Quindi in questo caso
l'applicazione diventa: F(e1)=e1, F(e2)=e2, F(e3)=-e3
quindi la matrice associata al prodotto scalare standard è:
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0-1)
Che ne dite?
Attendo vostre risposte
Risposte
help 
Ciao e benvenuto. Intanto ti invito a leggere il regolamento del forum perché hai infranto due regolucce: l'up del post prima di 24 h e poi non hai usato il sistema per scrivere le formule. Nel tuo post non sono presenti chissà che formule, ma usarle significa anche facilitare la lettura di chi ti aiuta, quindi... è una cosa carina da fare, no? 
Sul primo esercizio:
1. Se $Ker f={0}$, significa che l'applicazione è iniettiva, perciò è proprio in questo caso che l'immagine di $r$ sarà nuovamente una retta!
2. Se $dim (Ker f) =1$ (e quindi giustamente come dici tu $dim(Im f)=1$ invece possono accadere due cose:
a. il vettore direzione di $r$ appartiene al nucleo, dunque $f(r)$ sarà un punto
b. il vettore direzione di $r$ non appartiene al nucleo, dunque $f(r)$ sarà una retta (e coinciderà quindi con tutta $Im f$)
Sull'esercizio 2: non avevo mai sentito il termine "piano perpendicolare" riferito al piano $xy$, sicuro sia rigoroso? In ogni caso se è quello che dici allora la matrice va bene.
Paola
Sul primo esercizio:
1. Se $Ker f={0}$, significa che l'applicazione è iniettiva, perciò è proprio in questo caso che l'immagine di $r$ sarà nuovamente una retta!
2. Se $dim (Ker f) =1$ (e quindi giustamente come dici tu $dim(Im f)=1$ invece possono accadere due cose:
a. il vettore direzione di $r$ appartiene al nucleo, dunque $f(r)$ sarà un punto
b. il vettore direzione di $r$ non appartiene al nucleo, dunque $f(r)$ sarà una retta (e coinciderà quindi con tutta $Im f$)
Sull'esercizio 2: non avevo mai sentito il termine "piano perpendicolare" riferito al piano $xy$, sicuro sia rigoroso? In ogni caso se è quello che dici allora la matrice va bene.
Paola
Per il due, sì chiede proprio quello.
Per l'uno: avevo perso di vista il significato di iniettività per cui F(v)=F(w) e quindi v=w. Di conseguenza quando kerF=1 e Imf=1, se il vettore appartiene al nucleo si ha che F(v)=0 e quindi v=0, quindi un punto. Se il vettore appartiene all'immagine, esso rappresenta l'immagine stessa.
Perfetto, grazie mille! Avevo perso di vista il significato di iniettività che aiuta molto in questo caso.
p.s. scusa se non ho messo le formule, ma non so proprio come metterle. puoi darmi una guida?
p.p.s. scusa per l'up prima delle 24h, è da tempo che non visitavo un forum
Ancora grazie!
Per l'uno: avevo perso di vista il significato di iniettività per cui F(v)=F(w) e quindi v=w. Di conseguenza quando kerF=1 e Imf=1, se il vettore appartiene al nucleo si ha che F(v)=0 e quindi v=0, quindi un punto. Se il vettore appartiene all'immagine, esso rappresenta l'immagine stessa.
Perfetto, grazie mille! Avevo perso di vista il significato di iniettività che aiuta molto in questo caso.
p.s. scusa se non ho messo le formule, ma non so proprio come metterle. puoi darmi una guida?
p.p.s. scusa per l'up prima delle 24h, è da tempo che non visitavo un forum
Ancora grazie!
E' il link nella barra rossa in cima ad ogni pagina, LOL
Eccolo http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html.
Paola
Eccolo http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html.
Paola
cecità selettiva t.t grazie!
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