Problema ellisse non centrata nell'origine
Salve a tutti.
Nel contesto del calcolo di un integrale triplo mi trovo a dover risolvere un integrale doppio il cui dominio di integrazione è:
\( \Omega = \{(x,y) \in R^2: 2\sqrt{(x^2 +y^2)} < x + 2\} \)
L'equazione corrispondente è:
$ 2sqrt(x^2+y^2) = x+2 $
da cui si ottiene:
$ 3/4x^2 - x + y^2 = 1 $
Si vede che questa è un'ellisse traslata rispetto all'origine. Qua ho il problema: per poter integrare con il cambiamento di variabili ho bisogno di definire i coefficienti $ a $ e $ b $ che compaiono nell'equazione dell'ellisse, ovvero nella:
$ {(x - x_o)^2}/a^2 + {(y - y_o)^2}/b^2 = 1 $
Provo a sviluppare i quadrati in quest'ultima e ad eguagliare membro a membro ma arrivo sempre ad un sistema impossibile, dove $ x_o = 2/3 $ ma allo stesso tempo deve essere $ x_o = 0 $ se no mi trovo con un termine $ x_o^2/a^2 $ che non sparisce.
Qualche consiglio?
Grazie a tutti
Nel contesto del calcolo di un integrale triplo mi trovo a dover risolvere un integrale doppio il cui dominio di integrazione è:
\( \Omega = \{(x,y) \in R^2: 2\sqrt{(x^2 +y^2)} < x + 2\} \)
L'equazione corrispondente è:
$ 2sqrt(x^2+y^2) = x+2 $
da cui si ottiene:
$ 3/4x^2 - x + y^2 = 1 $
Si vede che questa è un'ellisse traslata rispetto all'origine. Qua ho il problema: per poter integrare con il cambiamento di variabili ho bisogno di definire i coefficienti $ a $ e $ b $ che compaiono nell'equazione dell'ellisse, ovvero nella:
$ {(x - x_o)^2}/a^2 + {(y - y_o)^2}/b^2 = 1 $
Provo a sviluppare i quadrati in quest'ultima e ad eguagliare membro a membro ma arrivo sempre ad un sistema impossibile, dove $ x_o = 2/3 $ ma allo stesso tempo deve essere $ x_o = 0 $ se no mi trovo con un termine $ x_o^2/a^2 $ che non sparisce.
Qualche consiglio?
Grazie a tutti
Risposte
UPDATE:
Per gli scopi dell'esercizio, dove si vuole arrivare ad una scrittura dell'equazione dell'ellisse, ho notato che aggiungendo e togliendo $ 4/9 $ al primo membro si scrive il quadrato di $(x-2/3)^2$ e poi facendo i calcoli si arriva a :
$ {(x - 2/3)^2}/(16/9) + y^2/(4/3) = 1 $
Mi rimane comunque il dubbio sul perche' non sia risolvibile partendo dalla formula.
Per gli scopi dell'esercizio, dove si vuole arrivare ad una scrittura dell'equazione dell'ellisse, ho notato che aggiungendo e togliendo $ 4/9 $ al primo membro si scrive il quadrato di $(x-2/3)^2$ e poi facendo i calcoli si arriva a :
$ {(x - 2/3)^2}/(16/9) + y^2/(4/3) = 1 $
Mi rimane comunque il dubbio sul perche' non sia risolvibile partendo dalla formula.
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