Problema di topologia

[Sk_Anonymous]

In $RR^2$ è dato il sottospazio topologico $I^2={(x,y)\inRR^2:0<=x<=1,0<=y<=1}$.
a) dire se esiste una relazione di equivalenza $\mathcal{R}$ su $I^2$ tale che $(I^2)/(\mathcal{R})~~S^1$.
b) dire se esiste una relazione di equivalenza $\mathcal{R}'$ su $I^2$ tale che $(I^2)/(\mathcal{R}')~~(0,1)$.

Con $S^1$ intendo la frontiera della circonferenza di raggio unitario col centro nell'origine.
Per il punto b) mi verrebbe da dire che una tale relazione di equivalenza non esiste, poichè $(0,1)$ è sottospazio topologico aperto, mentre $I^2$ è chiuso. Per il punto a) non ho alcuna idea.

EDIT: correggo errore nel testo.

[Megan00b]

Non sono sicuro della risposta data al punto b. Io direi che $I^2$ è compatto quindi il suo quoziente è compatto perchè è un'immagine suriettiva del primo mentre (0,1) non è compatto manco per niente.
Per il punto a non so. E' evidente che $S^1$ è omeomorfo al bordo di $I^2$.(l'omeomorfismo è facile da scrivere) Però non so se possa servire a qualcosa...ci devo pensare.
Edit: Visto che Fioravante ha cancellato il suo post io cancello il riferimento al suo post.

[Fioravante Patrone1]

Ho cancellato un mio post, visto che la questione che ponevo non era fondata.

[Sk_Anonymous]

Sì, hai ragione, avrei dovuto lavorare con la compattezza di $I^2$. Per il punto a non mi è ancora venuto in mente niente...

[Megan00b]

Ecco ho trovato, era una sciocchezza.
Te lo dico a parole poi te lo scrivi tu. I punti che sono sui due lati verticali e sul lato orizzontale inferiore del quadrato (bordo di $I^2$) formano ciascuno una classe di equivalenza a sè. Il resto (cioè l'interno del quadrato più il lato superiore) lo dividi in stricioline verticali di punti tutti equivalenti.
Se fai questa equivalenza trovi in maniera naturale un omeomorfismo tra $I^2/~$ e $delI^2$ che a sua volta è omeomorfo a $S^1$

[Megan00b]

Dovrebbe essere qualcosa tipo $(x1,y1) ~ (x2,y2)$ se $x1=x2$ e $y1=y2$ oppure se $0

Cita

Segnala

[rubik2]

$(x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)iff y_1,y_2!=0,1$ e $ y_1=y_2$ oppure $y_1=0,1$ e $y_2=0,1$

dovrebbe essere una relazione di equivalenza e dovrebbe andare

[Megan00b]

Sì anche quella di Rubik funziona. Prendi le striscioline orizzontali come classi di equivalenza, tranne per il lato superiore e quello inferiore che vanno attaccati.
In altre parole prendi il quadrato, appiccichi i due lati superiore e inferiore ottenendo una superficie cilindirica e poi la schiacci ad una circonferenza.

[Sk_Anonymous]

Chiaro come la luce del sole. Grazie ad entrambi.