Problema di geometria esame

[indovina]

Se $r$ retta di $S$ spazio euclideo e $pi$ piano:
$r$: $(y+z=0),(2x-z=0)$
$Pi$: $x-y=0$

1) dire se $r$ è parallela o ortogonale a $pi$
Osservo il vettore direzione del piano ed è:
$(1,-1,0)$
vettore direzione della retta è:
$((0,1,1),(2,0,-1))=(-1,2,-2)$
dunque non è parallela al piano.

2)trovare un piano ortogonale a $pi$ contenente $r$
equazione generale del piano:
$a*x+b*y+c*z+d=0$

condizione di ortogonalità: $a*a'+b*b'+c*c'=0$
da cui: $a'-b'=0$

condizione di contenere la retta, si usa il fascio di rette
$(beta)*(y+z)+(alpha)*(2x-z)=0$

da cui: $(beta)*y+(beta)*z+2(alpha)x-(alpha)*z=0$
raggruppando si ha:
$2*alpha*x+(beta)*y+(beta-alpha)*z=0$

si riduce a $2*alpha*x+(beta)*y=0$
e si osserva che deve essere anche $alpha=beta$
a questa condizione aggiungo $a'=b'$

$beta=2*alpha=a'=b'$ con questa relazione posso scrivere
$(2*alpha)*x+(2*alpha)*y=0$
si riduce banalmente a $x+y=0$ e infatti $(1,1,0)$
fa si che è ortogonale al piano iniziale.


3) Determinare la circonferenza su $pi$ di raggio $4$
Qui ho un dubbio, sul piano $pi$ si possono prendere
moltissime circonferenze con raggio $4$, tuttavia mi dice
'la circonferenza' dunque vuole una in particolare
le condizioni teoriche che ho sono:
$(x-x_0)^2+(y+y_0)^2=r^2$
$a^2+b^2-4c>0$

io ho preso la coppia $(1,1)$ che risolve $x-y=0$
e ho trovato la circonferenza: $x^2+y^2-2x-2y-14=0$
però ecco, qui ho il dubbio, posso mettere anche $(2,2)$
e verificare. c'è un modo per risolvere questo quesito
che attualmente non conosco. xD

4) trovare la retta per $A(1,0,0)$ ortogonale ed incidente
$r$

vettore direttore $r$: $(-1,2,-2)$
retta per $A$ e ortogole ad $r$:
$x=1-alpha$
$y=2*alpha$
$z=-2*alpha$

togliamo il parametro $alpha$ e viene:
$(2x+y-2=0),(2x-z-2=0)$

deve essere incidente, dunque verifichiamo che:
$((a,b,c,d),(a',b',c',d'),(a'',b'',c'',d''),(a''',b''',c''',d'''))$
sia $0$

$((0,1,1,0),(2,0,-1,0),(2,1,0,-2),(2,0,-1,-2))$
per trovare i determinanti faccio:
$-((2,-1,0),(2,0,-1),(2,-1,-2))+((2,0,0),(2,1,-2),(2,0,-2))=$
e viene $4-4=0$ ed è verificato.


L'esercizio finisce qui, spero che qualcuno ci dia una sbirciatina e mi scrivesse ciò che ho sbagliato, cosi da rivederlo.
Grazie.

[legendre]

1) E'pacifico che $r$ e $\pi$ non sono ne' paralleli ne' ortogonali sempre che i parametri direttori della retta siano quelli
2) non capisco perche' hai messo $a'=b'$
basta che fai $k(y+z)+2x-z$ affinche' il piano generico contenga la retta $r$.Poni la condizione di ortogonalita' tra i vettori direttori del piano generico con $k$
e i vettori diretttori del piano $\pi$ come hai detto te ($aa'+b b'+c c'=0$):
$2x+ky+z(k-1)=0$ poi perpendicolarita':$(2,k,k-1)*(1,-1,0)=0$ da cui $k=2$ cioe' $\pi':2x+2y+z=0$
3)Dovresti scrivere il testo esatto cosi' e' molto vago
4)Avevi trovato quasi giustamente i parametri di una retta generica per $A$ che sono $(l,m,n)$ e poi hai fatto cosa?
Trovati un punto sulla retta per esempio $O: (0,0,0)$.Fatti il vettore $\vec(OA)=(1-0,0-0,0-0)$ e fatti a) la condizione di complanarita' dei vettori $(l,m,n)$,$\vec (OA)$ e $(-1,2,-2)$ ponendo il determinante uguale a zero che unisci a b) condizione perpendicolarita' tra $(l,m,n)$ e $(-1,2,-2)$