Problema di geometria analitica/affine in uno spazio dim=3
Buonasera a tutti!!!
Ho un piccolo problema di geometria affine che non riesco a risolvere.
Dato un sistema ortonormale Oxyz in uno spazio euclideo di dimensione 3.
Sia K il piano $ 2x - y -3z + 8 =0 $ e L il piano $ x - 3y + 2z -1=0 $.
Trovare equazioni cartesiane e parametriche della retta r giacente nel piano K, passante per Q=( 3,2,4),[appartenente a K] e parallela al piano L.
Ho provato a risolvere in molti modi ma non riesco a trovare la retta giusta. Avevo pensato di calcolare la distanza tra il punto Q e il piano L. E poi di trovare un altro punto di K con distanza uguale al piano L e poi con questo nuovo punto di K trovare la retta passante per due punti, che secondo i miei ragionamenti dovrebbe mantenere sempre la stessa distanza da L.
Se ho sbagliato il ragionamento potreste spiegarmi dove ho sbagliato.
Ciao e grazie mille!!!
Ho un piccolo problema di geometria affine che non riesco a risolvere.
Dato un sistema ortonormale Oxyz in uno spazio euclideo di dimensione 3.
Sia K il piano $ 2x - y -3z + 8 =0 $ e L il piano $ x - 3y + 2z -1=0 $.
Trovare equazioni cartesiane e parametriche della retta r giacente nel piano K, passante per Q=( 3,2,4),[appartenente a K] e parallela al piano L.
Ho provato a risolvere in molti modi ma non riesco a trovare la retta giusta. Avevo pensato di calcolare la distanza tra il punto Q e il piano L. E poi di trovare un altro punto di K con distanza uguale al piano L e poi con questo nuovo punto di K trovare la retta passante per due punti, che secondo i miei ragionamenti dovrebbe mantenere sempre la stessa distanza da L.
Se ho sbagliato il ragionamento potreste spiegarmi dove ho sbagliato.
Ciao e grazie mille!!!
Risposte
Allora, non svolgo i conti perchè sono davvero stanco, ma ti propongo due idee che tengono conto dei due casi che si possono presentare...
I CASO) i due piani sono paralleli.
Allora un qualsiasi fascio di rette giacenti su $K$ di centro $Q$ sono la retta cercata! La soluzione pertanto non è unica
II CASO- i due piano sono incidenti... Avremo in questo caso una retta comune ai due piani. Basterà pertanto cercare una retta per $Q$ parallela alla retta $LnnK$ che potrai ottenere per esempio intersecando un piano parallelo a $L$ con il piano $K$
spero di esserti stato utile, ora prova a svolgere l'esercizio!
I CASO) i due piani sono paralleli.
Allora un qualsiasi fascio di rette giacenti su $K$ di centro $Q$ sono la retta cercata! La soluzione pertanto non è unica
II CASO- i due piano sono incidenti... Avremo in questo caso una retta comune ai due piani. Basterà pertanto cercare una retta per $Q$ parallela alla retta $LnnK$ che potrai ottenere per esempio intersecando un piano parallelo a $L$ con il piano $K$
spero di esserti stato utile, ora prova a svolgere l'esercizio!
ho svolto i calcoli e ho trovato che i piani sono incidenti. Però non so trovare questa retta!!!
La retta che ottieni è proprio l'intersezione dei due piani.
Te lo risolvo perchè i calcoli son semplici.
Cerchiamo un piano parallelo ad $L$. Dalla teoria sai che due piani sono paralleli se $rg((a,b,c),(a',b',c'))=1$ cioè se $a/a'=b/b'=c/c'$ quindi il nostro piano $alpha$ parallelo ad $L$ ha equazione $x-3y+2z+d=0$ Imponendo il passaggio per il punto $Q$ otteniamo $\alpha:x-3y+2z-5=0$
La nostra retta sarà pertanto data da $\alphannK$
Cerchiamo un piano parallelo ad $L$. Dalla teoria sai che due piani sono paralleli se $rg((a,b,c),(a',b',c'))=1$ cioè se $a/a'=b/b'=c/c'$ quindi il nostro piano $alpha$ parallelo ad $L$ ha equazione $x-3y+2z+d=0$ Imponendo il passaggio per il punto $Q$ otteniamo $\alpha:x-3y+2z-5=0$
La nostra retta sarà pertanto data da $\alphannK$
capito!!! grazie mille!!!!
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