Problema di Geometria Affine
Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio.
Sia A uno spazio affine con spazio vettoriale associato R4. Trovare un piano passante per P(1,2,0,-1) parallelo all'iperpiano di equazione x+y+z+q=1.
Se si trattasse di un analogo problema nello spazio tridimensionale non avrei problemi, ma così non riesco a venirne a capo... So che è un esercizio semplice, ma è da pochi giorni che sto studiando la Geometria... Datemi solo qualche indizio per la risoluzione, perché vorrei provarci da solo!
Grazie a tutti.
Sia A uno spazio affine con spazio vettoriale associato R4. Trovare un piano passante per P(1,2,0,-1) parallelo all'iperpiano di equazione x+y+z+q=1.
Se si trattasse di un analogo problema nello spazio tridimensionale non avrei problemi, ma così non riesco a venirne a capo... So che è un esercizio semplice, ma è da pochi giorni che sto studiando la Geometria... Datemi solo qualche indizio per la risoluzione, perché vorrei provarci da solo!
Grazie a tutti.
Risposte
"Sergio":
Hai un iperpiano di equazione \(x+y+z+q=1\). Te ne serve un altro di equazione \(ax+by+cz+dq=e\).
Metti a sistema:
\(\begin{cases} x+y+z+q=1 \\ ax+by+cz+dq=e \end{cases}\)
Se i due iperpiani sono paralleli (e non coincidenti), il sistema non deve avere alcuna soluzione.
Quindi, per il teorema di Rouché-Capelli...
Ma io cerco un piano parallelo all'iperpiano, non un altro iperpiano, sennò sapevo farlo! Bastava che i coefficienti delle incognite del secondo iperpiano fossero proporzionali a quelli dell'iperpiano dato e, chiamando A il termine noto dell'equazione del secondo iperpiano, per trovare A bastava sostituire alle incognite le coordinate del punto dato.
Io avevo pensato di scrivere un generico piano passante per quel punto in forma parametrica
\(\begin{cases} x=at+a's+1 \\ y=bt+b's+2 \\ z=ct+c's \\ q=dt+d's-1 \end{cases} \)
e usare la condizione di parallelismo (il mio professore considera la coincidenza un caso particolare di parallelismo, quindi l'equazione ottenuta sostituendo i valori di x,y,z,q nell'equazione dell'iperpiano per studiarne la posizione reciproca deve essere o una identità o impossibile) ed ottenere
\(\begin{cases} a+b+c+d=0 \\ a'+b'+c'+d'=0 \end{cases} \)
solo che arrivato qui non so come procedere, ho trovato un sistema di due equazioni in otto incognite... Non credo che sei incognite libere vadano bene...
E lavorare con la giacitura? Se la giacitura del tuo iperpiano è generata da $v_1 , v_2 , v_3$, allora ci sono più piani che soddisfano la condizione di parallelismo e di passaggio per $P$:
$pi_1 : P +$ , $pi_2 : P + $ , $pi_3 : P + $
Sbaglio?
$pi_1 : P +
Sbaglio?
Prendete con cautela anche la mia idea!
Aggiungo anche il mio contributo.
Nel mio svolgimento chiamo piano un oggetto a due dimensioni, iperpiano a 3.
L'iperpiano $\gamma: x+y+x+q=1$ ha come vettore normale $\vec n=(1,1,1,1)$.
Prendo un altro vettore che non sia parallelo a $\n$, es $\vec n_1=(0,0,-1,1)$ (in questo caso è addirittura ortogonale, ma non è necessario).
Il relativo iperpiano è $\gamma_1: -x+q=0$.
Mettendo a sistema $\gamma$ e $\gamma_1$ trovo un piano $\phi$ parallelo a $\gamma$.
$\phi={( x+y+x+q=1),(-x+q=0):}$
(Qui sono coincidenti, ma basta poco per "staccare", traslare il piano dall'iperpiano)
Per imporre il passaggio per $P(1,2,0,-1)$ devo fare in modo che tutti e due gli iperpiani passino per P.
Cioè:
$\phi={( x+y+x+q=2),(-x+q=-1):}$
Direi che è tutto qua.
La stessa cosa succede in $RR^3$.
Ho un piano $\pi$, trovo un piano parallelo $\pi_1$, cosa banale da fare.
Lo metto a sistema con qualsiasi altro piano che non sia parallelo e ottengo una retta parallela a $\pi$
Nel mio svolgimento chiamo piano un oggetto a due dimensioni, iperpiano a 3.
L'iperpiano $\gamma: x+y+x+q=1$ ha come vettore normale $\vec n=(1,1,1,1)$.
Prendo un altro vettore che non sia parallelo a $\n$, es $\vec n_1=(0,0,-1,1)$ (in questo caso è addirittura ortogonale, ma non è necessario).
Il relativo iperpiano è $\gamma_1: -x+q=0$.
Mettendo a sistema $\gamma$ e $\gamma_1$ trovo un piano $\phi$ parallelo a $\gamma$.
$\phi={( x+y+x+q=1),(-x+q=0):}$
(Qui sono coincidenti, ma basta poco per "staccare", traslare il piano dall'iperpiano)
Per imporre il passaggio per $P(1,2,0,-1)$ devo fare in modo che tutti e due gli iperpiani passino per P.
Cioè:
$\phi={( x+y+x+q=2),(-x+q=-1):}$
Direi che è tutto qua.
La stessa cosa succede in $RR^3$.
Ho un piano $\pi$, trovo un piano parallelo $\pi_1$, cosa banale da fare.
Lo metto a sistema con qualsiasi altro piano che non sia parallelo e ottengo una retta parallela a $\pi$
Grazie a tutti delle risposte! Però stanotte c'ho pensato, e credo che anche la soluzione che posi all'inizio possa andare bene!
Prendo un generico iperpiano passante per \(\displaystyle P \):
\(\begin{cases} x=at+a's+1 \\ y=bt+b's+2 \\ z=ct+c's \\ q=dt+d's-1 \end{cases} \)
Metto a sistema queste equazioni con quella dell'iperpiano dato:
\(\begin{cases} x=at+a's+1 \\ y=bt+b's+2 \\ z=ct+c's \\ q=dt+d's-1 \\ x+y+z+q+1=0 \end{cases} \)
Ed ottengo, raccogliendo \(\displaystyle t \) ed \(\displaystyle s \):
\(\displaystyle (a+b+c+d)t+(a'+b'+c'+d')s+3=0 \)
A questo punto, affinché il piano e l'iperpiano siano paralleli, i coefficienti delle due incognite devono essere zero per far sì che scappi fuori un'equazione impossibile.
\(\begin{cases} a+b+c+d=0 \\ a'+b'+c'+d'=0 \end{cases} \)
Risolvendo (senza stare a scriverlo in forma matriciale...) trovo:
\(\begin{cases} a=-b-c-d \\ a'=-b'-c'-d' \end{cases} \)
Scegliendo dei valori per le incognite libere ottengo l'iperpiano:
\(\begin{cases} x=-3t-2s+1 \\ y=t-s+2 \\ z=t+2s \\ q=t+s-1 \end{cases} \)
E, mettendo a sistema queste equazioni con le equazioni dell'iperpiano dato ottengo:
\(\displaystyle (-3+1+1+1)t+(-2-1+2-1)s+3=0 \)
Che appunto mi restituisce l'equazione impossibile:
\(\displaystyle 3=0 \)
Dunque il piano trovato e l'iperpiano dato sono paralleli.
Può essere giusto questo ragionamento?
Prendo un generico iperpiano passante per \(\displaystyle P \):
\(\begin{cases} x=at+a's+1 \\ y=bt+b's+2 \\ z=ct+c's \\ q=dt+d's-1 \end{cases} \)
Metto a sistema queste equazioni con quella dell'iperpiano dato:
\(\begin{cases} x=at+a's+1 \\ y=bt+b's+2 \\ z=ct+c's \\ q=dt+d's-1 \\ x+y+z+q+1=0 \end{cases} \)
Ed ottengo, raccogliendo \(\displaystyle t \) ed \(\displaystyle s \):
\(\displaystyle (a+b+c+d)t+(a'+b'+c'+d')s+3=0 \)
A questo punto, affinché il piano e l'iperpiano siano paralleli, i coefficienti delle due incognite devono essere zero per far sì che scappi fuori un'equazione impossibile.
\(\begin{cases} a+b+c+d=0 \\ a'+b'+c'+d'=0 \end{cases} \)
Risolvendo (senza stare a scriverlo in forma matriciale...) trovo:
\(\begin{cases} a=-b-c-d \\ a'=-b'-c'-d' \end{cases} \)
Scegliendo dei valori per le incognite libere ottengo l'iperpiano:
\(\begin{cases} x=-3t-2s+1 \\ y=t-s+2 \\ z=t+2s \\ q=t+s-1 \end{cases} \)
E, mettendo a sistema queste equazioni con le equazioni dell'iperpiano dato ottengo:
\(\displaystyle (-3+1+1+1)t+(-2-1+2-1)s+3=0 \)
Che appunto mi restituisce l'equazione impossibile:
\(\displaystyle 3=0 \)
Dunque il piano trovato e l'iperpiano dato sono paralleli.
Può essere giusto questo ragionamento?
Si, va bene.
Il ragionamento che sta sotto è, informa concisa: trovo due vettori paralleli all'iperpiano di partenza (cioè normali alla normale dell'iperpiano) e costruisco una combinazione lineare di essi con due parametri $s$ e $t$.
Occhio a qui:
stai parlando di un piano, non di un iperpiano.
Il ragionamento che sta sotto è, informa concisa: trovo due vettori paralleli all'iperpiano di partenza (cioè normali alla normale dell'iperpiano) e costruisco una combinazione lineare di essi con due parametri $s$ e $t$.
Occhio a qui:
Prendo un generico iperpiano passante per \(\displaystyle P \):
\(\begin{cases} x=at+a's+1 \\ y=bt+b's+2 \\ z=ct+c's \\ q=dt+d's-1 \end{cases} \)
stai parlando di un piano, non di un iperpiano.
"Quinzio":
Si, va bene.
Il ragionamento che sta sotto è, informa concisa: trovo due vettori paralleli all'iperpiano di partenza (cioè normali alla normale dell'iperpiano) e costruisco una combinazione lineare di essi con due parametri $s$ e $t$.
Occhio a qui:
Prendo un generico iperpiano passante per \(\displaystyle P \):
\(\begin{cases} x=at+a's+1 \\ y=bt+b's+2 \\ z=ct+c's \\ q=dt+d's-1 \end{cases} \)
stai parlando di un piano, non di un iperpiano.
Sì, scusa, ho sbagliato a scrivere! Comunque bene se il ragionamento è corretto farò così allora!
PS: Di "normale" ancora non s'è parlato.
Normale = perpendicolare
"Quinzio":
Normale = perpendicolare
Lo so, ma è un argomento che ancora non abbiamo trattato, quindi non posso parlare di vettori normali ad un piano nella risoluzione di questi esercizi, per il momento. Il professore, infatti, come sostituzione dell'esame scritto ci dà via via una serie di esercizi da consegnargli entro una certa data e, all'orale, fa domande di controllo per vedere se uno sa cosa c'è scritto o se li è fatti fare...
Ultima domanda: devo specificarlo, vero, che \(\displaystyle (a, b, c, d)\) e \(\displaystyle (a', b', c', d')\) li prendo in modo tale da essere linearmente indipendenti?
"giuliofis":
[quote="Quinzio"]Normale = perpendicolare
Lo so, ma è un argomento che ancora non abbiamo trattato, quindi non posso parlare di vettori normali ad un piano nella risoluzione di questi esercizi, per il momento. Il professore, infatti, come sostituzione dell'esame scritto ci dà via via una serie di esercizi da consegnargli entro una certa data e, all'orale, fa domande di controllo per vedere se uno sa cosa c'è scritto o se li è fatti fare...
[/quote]
La logica di questo metodo non mi è chiara, ma saranno fatti suoi. A voi comunque basta studiare.
L'università non è l'asilo dove si chiama la gente alla lavagna, si fa l'esame alla fine. Boh....
Ma vi da un esercizio con $RR^4$ piani paralleli, iperpiani, e non sapete cos'è la perpendicolarità ?
Ultima domanda: devo specificarlo, vero, che \(\displaystyle (a, b, c, d)\) e \(\displaystyle (a', b', c', d')\) li prendo in modo tale da essere linearmente indipendenti?
Si certamente.
"Quinzio":
La logica di questo metodo non mi è chiara, ma saranno fatti suoi. A voi comunque basta studiare.
L'università non è l'asilo dove si chiama la gente alla lavagna, si fa l'esame alla fine. Boh....
Guarda, all'orale di Algebra Lineare ne ha steccati parecchi... Alla fine se uno le cose le sa, all'orale gliele dice; se uno non le sa, anche se ha consegnato degli esercizi perfetti lo manda giustamente a casa.
"Quinzio":
Ma vi da un esercizio con $RR^4$ piani paralleli, iperpiani, e non sapete cos'è la perpendicolarità ?
Nel libro viene molto dopo, circa 150 pagine dopo...
"Quinzio":
Ma vi da un esercizio con $RR^4$ piani paralleli, iperpiani, e non sapete cos'è la perpendicolarità ?
Beh, veramente non mi sembra tanto strano. La nozione di parallelismo di sottospazi affini si può dare senza aver parlato di uno spazio euclideo (in termini di inclusione di giaciture), mentre la nozione di perpendicolarità abbisogna di un prodotto scalare che non è presupposto da questo esercizio (è dato uno spazio affine...).
Sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo