Problema di geometria

[eleonora-89]

1. Nello spazio sono assegnate le rette: r , di equazioni parametriche, nel parametro reale t,
{x=2+t,y=-t,z=2*t
s di
equazioni cartesiane
{x-2*z=0,x+y-5*z=0
Scrivere un’equazione cartesiana del piano che contiene r ed è parallelo a s.
le rette sono sghembe....spero che mi aiutate..sono proprio in crisi...help me please!!!

[Russell1]

Se $a$ è un sottospazio affine, indicherò con $\overline{a}$ la sua giacitura. Puoi verificare facilmente che
$\overline{r}=\mathcal{L}(1,-1,2)$; $(2,0,0) \in r$
$s=\overline{s}=\mathcal{L}(2,3,1)$

Sia $pi$ il piano incognito.

Se $s$ è parallela a $pi$ allora $\overline{s}=\mathcal{L}(2,3,1) \subset \overline{pi}$
Inoltre anche $\overline{r}=\mathcal{L}(1,-1,2) \subset \overline{pi}$

Essendo interessati alle coordinate cartesiane di $pi$ cerchiamo una $T: RR^3 \rightarrow RR$ applicazione lineare tale che $Ker T=\overline{pi}$. I vettori $(2,3,1)$ e $(1,-1,2)$ sono linearmente indipendenti: il loro generato ha dimensione due (quella giusta). Quindi cerchiamo $T$ tale che $Ker T=\mathcal{L}(2,3,1), (1,-1,2)$. Esistono vari modi per trovarla...
Una $T$ che soddisfa i requisiti è la seguente:

$T(x,y,z):=7x-3y-5z$
Se è così, $\overline{pi}=Ker T$.
L'equazione di $pi$ (sottospazio affine) è quindi $pi: 7x-3y-5z+d=0$ per un opportuno $d in RR$. Basta imporre il passaggio per $(2,0,0)$ per avere $d=-14$. Concludendo...

$pi: 7x-3y-5z-14=0$

Puoi controllare che ogni punto di $r$ appartiene a questo piano; infatti $7(2+t)+3t-10t-14=0$ come ci aspettavamo.
Inoltre il sistema tra $pi$ ed $s$ non è mai soddisfatto.

[eleonora-89]

grazie per la risposta diciamo che ne posso prendere spunto x la risoluzione perchè essendo un esercizio di geometria analitica la mia prof preferisce una soluzione puramente geometrica quindi senza l'aiuto dell'algebra comunque mi è stata di aiuto grazie ancora!!