Problema di geometria
Salve, ho dei problemi a svolgere questo esercizio:
$ B_U = ( u_1 , u_2 )$ è la base del sottospazio vettoriale U
e
$ B_V = ( v_1 , v_2 )$ è la base del sottospazio vettoriale V
L'esercizio mi chiede di trovare la base di $ U nn V $
Il libro lo svolge nel seguente modo:
$ x in U nn V $ se e solo se esistono $ a_1 , a_2 , b_1 , b_2 in RR$ tali che:
$x=a_1 u_1 + a_2 v_2 = b_1 v_1 + b_2 v_2 $
( e fin quì ci siamo)
$ U nn V != {0}$ se e solo se i vettori $u_1,u_2,v_1,v_2$ sono linearmente dipendenti. (Perchè??????????)
Troviamo quindi le soluzioni del sistema:
$a_1 u_1 + a_2 v_2 - b_1 v_1 - b_2 v_2=0 $
(Che in questo caso sono $a_1=1 , a_2=-1 , b_1=-1 , b_2=1$
Cio implica che $ x in U nn V $ se e solo se x è multiplo di:
$w= u_1 - u_2 = - v_1 + v_2 $
Quindi B=(w) è una base di $U nn V$ .
Forse se riuscissi a capire perchè - $ U nn V != {0}$ se e solo se i vettori $u_1,u_2,v_1,v_2$ sono linearmente dipendenti - capirei tutto il resto.
Spero che possiate aiutarmi!!!
Ciao
Angelo
$ B_U = ( u_1 , u_2 )$ è la base del sottospazio vettoriale U
e
$ B_V = ( v_1 , v_2 )$ è la base del sottospazio vettoriale V
L'esercizio mi chiede di trovare la base di $ U nn V $
Il libro lo svolge nel seguente modo:
$ x in U nn V $ se e solo se esistono $ a_1 , a_2 , b_1 , b_2 in RR$ tali che:
$x=a_1 u_1 + a_2 v_2 = b_1 v_1 + b_2 v_2 $
( e fin quì ci siamo)
$ U nn V != {0}$ se e solo se i vettori $u_1,u_2,v_1,v_2$ sono linearmente dipendenti. (Perchè??????????)
Troviamo quindi le soluzioni del sistema:
$a_1 u_1 + a_2 v_2 - b_1 v_1 - b_2 v_2=0 $
(Che in questo caso sono $a_1=1 , a_2=-1 , b_1=-1 , b_2=1$
Cio implica che $ x in U nn V $ se e solo se x è multiplo di:
$w= u_1 - u_2 = - v_1 + v_2 $
Quindi B=(w) è una base di $U nn V$ .
Forse se riuscissi a capire perchè - $ U nn V != {0}$ se e solo se i vettori $u_1,u_2,v_1,v_2$ sono linearmente dipendenti - capirei tutto il resto.
Spero che possiate aiutarmi!!!
Ciao
Angelo
Risposte
Fai geometria con de cecco eh? 
non ricordo bene la teoria, ma sulle sue dispense c'è di sicuro, lo ricordo bene questo esercizio...
non ricordo bene la teoria, ma sulle sue dispense c'è di sicuro, lo ricordo bene questo esercizio...
"lars":
$ U nn V != {0}$ se e solo se i vettori $u_1,u_2,v_1,v_2$ sono linearmente dipendenti. (Perchè??????????)
Perchè affinchè un vettore appartenga all'intersezione di 2 sottospazi vettoriali deve appartenere contemporaneamente ad entrambi i vettori. Perchè ciò sia possibilie bisogna che la combinazione lineare di elementi di un sottospazio sia allo stesso tempo combinazione lineare di elementi dell'altro spazio. Ossia, bisogna che un generico vettore di $UnnV$ sia scrivibile come combinazione lineare di $U$ e di $V$. Questo è possibile solo se i vettori sono linearmente dipendenti. Se fossero lin indipendenti, ad esempio, i vettori di $V$ non potrebbero scriversi come combinaz. lineare di quelli di $U$ perciò come farebbe un vettore ad appartenere ad entrambi i sottospazi contemporaneamente? Sarebbe un assurdo!
Spero di esserti stato utile. Ciao
Ho capito grazie mille Dust!
rocco.g sto studiando grometria dal libro di Marco Abate.
Non faccio geometria con De Cecco, però il mio professore di geometria(prof. Maniglia) ci ha consigliato le sue dispense, solo che non riesco proprio a trovarle!!
Non e che c'è le avresti?
Fammi sapere.
Ciao
rocco.g sto studiando grometria dal libro di Marco Abate.
Non faccio geometria con De Cecco, però il mio professore di geometria(prof. Maniglia) ci ha consigliato le sue dispense, solo che non riesco proprio a trovarle!!
Non e che c'è le avresti?
Fammi sapere.
Ciao
Certo, Lars!
Qui trovi le dispense di teoria:
http://poincare.unile.it/vitolo/vitolo_ ... geomet.pdf
Qui invece trovi gli esercizi:
http://poincare.unile.it/vitolo/vitolo_ ... ercizi.pdf
Ho appena visto che sono aggiornate a gennaio 2007.
Sono delle dispense ottime! c'è tutto quello che serve per passare l'esame scritto e quello orale.
N.B. nelle dispense di teoria quando ci sono le dimostrazioni dei teoremi, alcuni passaggi mancano di proposito in modo che chi legge ci ragioni su... nella maggior parte dei casi son proprio gli stessi ragionamenti che ti chiedono all'orale poi... almeno il grande De Cecco usava fare così! (per me quel professore è un mito, uno dei migliori che ho incontrato sino ad adesso)
Qui trovi le dispense di teoria:
http://poincare.unile.it/vitolo/vitolo_ ... geomet.pdf
Qui invece trovi gli esercizi:
http://poincare.unile.it/vitolo/vitolo_ ... ercizi.pdf
Ho appena visto che sono aggiornate a gennaio 2007.
Sono delle dispense ottime! c'è tutto quello che serve per passare l'esame scritto e quello orale.
N.B. nelle dispense di teoria quando ci sono le dimostrazioni dei teoremi, alcuni passaggi mancano di proposito in modo che chi legge ci ragioni su... nella maggior parte dei casi son proprio gli stessi ragionamenti che ti chiedono all'orale poi... almeno il grande De Cecco usava fare così! (per me quel professore è un mito, uno dei migliori che ho incontrato sino ad adesso
)
grazie per per i link 
Grazie mille rocco.g !!!
Anche il libro su cui sto studiando io( me lo hanno consigliato in questo forum stesso) è davvero molto bello, fa ragionare sui passaggi... la geometria mi sta piacendo molto!
Anche il libro su cui sto studiando io( me lo hanno consigliato in questo forum stesso) è davvero molto bello, fa ragionare sui passaggi... la geometria mi sta piacendo molto!
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