Problema di algebra lineare: nucleo, immagine, applicazioni lineari
Salve a tutti.
Ho qualche difficoltà negli esercizi di questo tipo, la mia intenzione è quella di postare lo svolgimento e sperare in vostre correzioni e aiuti.
Ringrazio anticipatamente chiunque risponderà.
Testo: Sia V lo spazio dei vettori liberi e sia $B = {i,j,k}$ una base ortonormale e positivamente orientata. Sia $ f \in End(V) $ definito da $ f(v)=(v \wedge (i-2j+k)) $ ;
- scrivere la matrice di f rispetto alla base B in partenza ed in arrivo;
- descrivere Ker e immagine di f, calcolando la dimensione di una base per ciascuno di essi.
Primo quesito:
Ho calcolato $f(i), f(j), f(k)$:
$f(i)= i \wedge (i-2j+k) = 0 + 2k + j$
$f(j)= j \wedge (i-2j+k) = k + 0 + -i$
$f(k)= k \wedge (i-2j+k) = -j - 2i + 0$
Li ho poi disposti per colonne, avendo la stessa base in partenza ed in arrivo, ottenendo:
$ M_B^B=( ( 0, -1 , -2 ),( 1 , 0 , -1 ),( 2 , 1 , 0 ) ) $
Se avessi avuto basi diverse avrei dovuto scrivere i vettori come combinazioni lineari dell'altra.
secondo quesito:
Ho calcolato $Ker(f)$ studiando $f(v)=0$, sostituendo a v un generico vettore $(i,j,k)$;
svolgendo il prodotto vettoriale ho ottenuto $-3i + 3k=0 \Rightarrow 3i=3k $.
E' corretto affermare che la base è del tipo $ {( 1 \ \ 0 \ \ 1 )} $ e che quindi ha dimensione 1?
In tale caso userei il th. della nullità e rango per affermare che, trattandosi di un endomorfismo di $\mathbb{R}^3$, l'immagine di f ha dimensione 2.
Come potrei calcolarne una base? su questo punto sono più in difficoltà:
So che $Im(f)={w \in W | f(v)=w}$ nel caso di un'applicazione $f: V \rightarrow W$.
Potreste spiegarmi come applicare la formula in questo caso per favore?
Grazie di nuovo
Ho qualche difficoltà negli esercizi di questo tipo, la mia intenzione è quella di postare lo svolgimento e sperare in vostre correzioni e aiuti.
Ringrazio anticipatamente chiunque risponderà.
Testo: Sia V lo spazio dei vettori liberi e sia $B = {i,j,k}$ una base ortonormale e positivamente orientata. Sia $ f \in End(V) $ definito da $ f(v)=(v \wedge (i-2j+k)) $ ;
- scrivere la matrice di f rispetto alla base B in partenza ed in arrivo;
- descrivere Ker e immagine di f, calcolando la dimensione di una base per ciascuno di essi.
Primo quesito:
Ho calcolato $f(i), f(j), f(k)$:
$f(i)= i \wedge (i-2j+k) = 0 + 2k + j$
$f(j)= j \wedge (i-2j+k) = k + 0 + -i$
$f(k)= k \wedge (i-2j+k) = -j - 2i + 0$
Li ho poi disposti per colonne, avendo la stessa base in partenza ed in arrivo, ottenendo:
$ M_B^B=( ( 0, -1 , -2 ),( 1 , 0 , -1 ),( 2 , 1 , 0 ) ) $
Se avessi avuto basi diverse avrei dovuto scrivere i vettori come combinazioni lineari dell'altra.
secondo quesito:
Ho calcolato $Ker(f)$ studiando $f(v)=0$, sostituendo a v un generico vettore $(i,j,k)$;
svolgendo il prodotto vettoriale ho ottenuto $-3i + 3k=0 \Rightarrow 3i=3k $.
E' corretto affermare che la base è del tipo $ {( 1 \ \ 0 \ \ 1 )} $ e che quindi ha dimensione 1?
In tale caso userei il th. della nullità e rango per affermare che, trattandosi di un endomorfismo di $\mathbb{R}^3$, l'immagine di f ha dimensione 2.
Come potrei calcolarne una base? su questo punto sono più in difficoltà:
So che $Im(f)={w \in W | f(v)=w}$ nel caso di un'applicazione $f: V \rightarrow W$.
Potreste spiegarmi come applicare la formula in questo caso per favore?
Grazie di nuovo
Risposte
"bernardo1504":
E' corretto affermare che la base è del tipo $ {( 1 \ \ 0 \ \ 1 )} $ e che quindi ha dimensione 1?
Sì
"bernardo1504":
Come potrei calcolarne una base? su questo punto
Due colonne lin. indip. qualsiasi di F.
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