Problema di Algebra Lineare
Salve a tutti,
avrei un grosso problema di Algebra Lineare. Premetto che ho ben chiari i concetti di matrici, determinante, rango, endomorfismo...Insomma, tutti i concetti base che si studiano in un corso di algebra del primo anno di ingegneria.
Il mio problema è questo:
Sia $f: RR^4 \to RR^4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:
$A=((1,h,0,1),(h-1,2,h,3),(1,h+2,1,4h),(h-2,4-h,h+1,4h+1))$
dove h è un parametro reale.
1) Studiare $f$, determinando, al variare di h, $Ker f$ e $Im f$.
2) Nel caso h=1 studiare la semplicità di $f$.
3) Sia $g: RR^4 \to RR^4$ l'applicazione lineare associata alla matrice trasposta di $A$. Nei casi h=0 e h=1 determinare $Im f nn Im g$.
Per quanto riguarda il primo punto ho provato a determinare il $det A$ con il primo Teorema di Laplace, per vedere se la matrice ha rango massimo, ma troppo lungo, poi ho provato a ridurla, ma mi è venuto troppo complesso.
Per quanto riguarda il secondo punto ho sostituito h=1 e mi sono calcolato il polinomio caratteristico, ma è venuta un'equazione di quarto grado e non ho saputo trovare gli autovalori.
Il terzo punto neanche l'ho provato perchè mi sono demoralizzato...
Forse l'esercizio è banale, non so, ma purtroppo mi manca una base pratica, i concetti teorici li ho chiari in testa. Col fatto che dobbiamo fare algebra e geometria entro il semestre, il professore non ha il tempo di fare esercitazioni, se non qualche esercizietto banale, quindi il grosso tocca a noi! Ringrazio in anticipo per l'aiuto!!!
avrei un grosso problema di Algebra Lineare. Premetto che ho ben chiari i concetti di matrici, determinante, rango, endomorfismo...Insomma, tutti i concetti base che si studiano in un corso di algebra del primo anno di ingegneria.
Il mio problema è questo:
Sia $f: RR^4 \to RR^4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:
$A=((1,h,0,1),(h-1,2,h,3),(1,h+2,1,4h),(h-2,4-h,h+1,4h+1))$
dove h è un parametro reale.
1) Studiare $f$, determinando, al variare di h, $Ker f$ e $Im f$.
2) Nel caso h=1 studiare la semplicità di $f$.
3) Sia $g: RR^4 \to RR^4$ l'applicazione lineare associata alla matrice trasposta di $A$. Nei casi h=0 e h=1 determinare $Im f nn Im g$.
Per quanto riguarda il primo punto ho provato a determinare il $det A$ con il primo Teorema di Laplace, per vedere se la matrice ha rango massimo, ma troppo lungo, poi ho provato a ridurla, ma mi è venuto troppo complesso.
Per quanto riguarda il secondo punto ho sostituito h=1 e mi sono calcolato il polinomio caratteristico, ma è venuta un'equazione di quarto grado e non ho saputo trovare gli autovalori.
Il terzo punto neanche l'ho provato perchè mi sono demoralizzato...
Forse l'esercizio è banale, non so, ma purtroppo mi manca una base pratica, i concetti teorici li ho chiari in testa. Col fatto che dobbiamo fare algebra e geometria entro il semestre, il professore non ha il tempo di fare esercitazioni, se non qualche esercizietto banale, quindi il grosso tocca a noi! Ringrazio in anticipo per l'aiuto!!!
Risposte
Partiamo quindi dall'inizio:
1) Per determinare $Kerf$, cerchiamo: $x:Ax=0$:
$A \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(h-1,2,h,3),(h-2,4-h,h+1,4h+1)) \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,-h^2+h+2,h,4-h),(0,-h^2+h+4,h+1,3h-1)) \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,h-(-h^2+h+2)/2,4-h-(4h-1)(-h^2+h+2)/2),(0,0,h+1-h(-h^2+h+4)/2,3h-1-(4-h)(-h^2+h+4)/2)) \sim
$\sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,1/2(h-2)(h+1), 1/2(h-2)(4h^2+3-5)),(0,0,1/2(h-1)(h^2-2),1/2(-h^3+3h^2-h-9))) \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,1/2(h-2)(h+1), 1/2(h-2)(4h^2+3h-5)),(0,0,0,1/2(-h^3+3h^2-h-9)-1/2(4h^2+3h-5)(h-1)(h^2-2)/(h+1)))$
$\sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,1/2(h-2)(h+1), 1/2(h-2)(4h^2+3h-5)), (0,0,0,4h^5-2h^4-14h^3+9h^2+6h-19))$
Premetto che tutti questi conti possono essere sbagliati! Se così non fosse ora basta discutere sui valori di $h$!
In ogni caso il rango minimo è $2$ visto che di certo le prime due righe quale che sia il valore di $h$ sono linearmente indipendenti. Se poi $h=2$ abbiamo la terza riga nulla e la quarta con valore $!=0$ e quindi il rango è $3$, se $h=1$ il rango è sempre $3$ come analogamente nelle radici reali del polinomio in quarta riga.
2) nel caso $h=1$ la matrice $A$ è:
$A=((1,1,0,1),(0,2,1,3),(1,3,1,4),(-1,3,2,5))$
Il polinomio caratteristico è (ottenuto sviluppando sulla prima riga con Laplace e controllando poi con Maple)
$P_A(x) = x^4-9*x^3+6*x^2$
Che mi fa pensare che i miei calcoli precedenti siano errati!!!
Da qui gli autovalori sono $0, 0, 9/2+(1/2)*sqrt(57), 9/2-(1/2)*sqrt(57)$. Ora mi rimetto a fare i conti precedenti per postare qualcosa di almeno vagamente corretto!
1) Per determinare $Kerf$, cerchiamo: $x:Ax=0$:
$A \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(h-1,2,h,3),(h-2,4-h,h+1,4h+1)) \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,-h^2+h+2,h,4-h),(0,-h^2+h+4,h+1,3h-1)) \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,h-(-h^2+h+2)/2,4-h-(4h-1)(-h^2+h+2)/2),(0,0,h+1-h(-h^2+h+4)/2,3h-1-(4-h)(-h^2+h+4)/2)) \sim
$\sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,1/2(h-2)(h+1), 1/2(h-2)(4h^2+3-5)),(0,0,1/2(h-1)(h^2-2),1/2(-h^3+3h^2-h-9))) \sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,1/2(h-2)(h+1), 1/2(h-2)(4h^2+3h-5)),(0,0,0,1/2(-h^3+3h^2-h-9)-1/2(4h^2+3h-5)(h-1)(h^2-2)/(h+1)))$
$\sim ((1,h,0,1),(0,2,1,4h-1),(0,0,1/2(h-2)(h+1), 1/2(h-2)(4h^2+3h-5)), (0,0,0,4h^5-2h^4-14h^3+9h^2+6h-19))$
Premetto che tutti questi conti possono essere sbagliati! Se così non fosse ora basta discutere sui valori di $h$!
In ogni caso il rango minimo è $2$ visto che di certo le prime due righe quale che sia il valore di $h$ sono linearmente indipendenti. Se poi $h=2$ abbiamo la terza riga nulla e la quarta con valore $!=0$ e quindi il rango è $3$, se $h=1$ il rango è sempre $3$ come analogamente nelle radici reali del polinomio in quarta riga.2) nel caso $h=1$ la matrice $A$ è:
$A=((1,1,0,1),(0,2,1,3),(1,3,1,4),(-1,3,2,5))$
Il polinomio caratteristico è (ottenuto sviluppando sulla prima riga con Laplace e controllando poi con Maple)
$P_A(x) = x^4-9*x^3+6*x^2$
Che mi fa pensare che i miei calcoli precedenti siano errati!!!
Da qui gli autovalori sono $0, 0, 9/2+(1/2)*sqrt(57), 9/2-(1/2)*sqrt(57)$. Ora mi rimetto a fare i conti precedenti per postare qualcosa di almeno vagamente corretto!
Eheheh non preoccuparti, anche io l'ho provata almeno 4 volte e ho ottenuto 4 risultati diversi! Comunque ho postato lo stesso thread (non sapendo che era vietato dal reagolamento, infatti mi sono già scusato) nella sezione università. Conviene continuare solo la! Grazie della rispsota comunque!!! 
Ho visto poi! ^_^
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