Problema di Algebra Lineare
Salve a tutti,
avrei un grosso problema di Algebra Lineare. Premetto che ho ben chiari i concetti di matrici, determinante, rango, endomorfismo...Insomma, tutti i concetti base che si studiano in un corso di algebra del primo anno di ingegneria.
Il mio problema è questo:
Sia $f: RR^4 \to RR^4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:
$A=((1,h,0,1),(h-1,2,h,3),(1,h+2,1,4h),(h-2,4-h,h+1,4h+1))$
dove h è un parametro reale.
1) Studiare $f$, determinando, al variare di h, $Ker f$ e $Im f$.
2) Nel caso h=1 studiare la semplicità di $f$.
3) Sia $g: RR^4 \to RR^4$ l'applicazione lineare associata alla matrice trasposta di $A$. Nei casi h=0 e h=1 determinare $Im f nn Im g$.
Per quanto riguarda il primo punto ho provato a determinare il $det A$ con il primo Teorema di Laplace, per vedere se la matrice ha rango massimo, ma troppo lungo, poi ho provato a ridurla, ma mi è venuto troppo complesso.
Per quanto riguarda il secondo punto ho sostituito h=1 e mi sono calcolato il polinomio caratteristico, ma è venuta un'equazione di quarto grado e non ho saputo trovare gli autovalori.
Il terzo punto neanche l'ho provato perchè mi sono demoralizzato...
Forse l'esercizio è banale, non so, ma purtroppo mi manca una base pratica, i concetti teorici li ho chiari in testa. Col fatto che dobbiamo fare algebra e geometria entro il semestre, il professore non ha il tempo di fare esercitazioni, se non qualche esercizietto banale, quindi il grosso tocca a noi! Ringrazio in anticipo per l'aiuto!!!
avrei un grosso problema di Algebra Lineare. Premetto che ho ben chiari i concetti di matrici, determinante, rango, endomorfismo...Insomma, tutti i concetti base che si studiano in un corso di algebra del primo anno di ingegneria.
Il mio problema è questo:
Sia $f: RR^4 \to RR^4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:
$A=((1,h,0,1),(h-1,2,h,3),(1,h+2,1,4h),(h-2,4-h,h+1,4h+1))$
dove h è un parametro reale.
1) Studiare $f$, determinando, al variare di h, $Ker f$ e $Im f$.
2) Nel caso h=1 studiare la semplicità di $f$.
3) Sia $g: RR^4 \to RR^4$ l'applicazione lineare associata alla matrice trasposta di $A$. Nei casi h=0 e h=1 determinare $Im f nn Im g$.
Per quanto riguarda il primo punto ho provato a determinare il $det A$ con il primo Teorema di Laplace, per vedere se la matrice ha rango massimo, ma troppo lungo, poi ho provato a ridurla, ma mi è venuto troppo complesso.
Per quanto riguarda il secondo punto ho sostituito h=1 e mi sono calcolato il polinomio caratteristico, ma è venuta un'equazione di quarto grado e non ho saputo trovare gli autovalori.
Il terzo punto neanche l'ho provato perchè mi sono demoralizzato...
Forse l'esercizio è banale, non so, ma purtroppo mi manca una base pratica, i concetti teorici li ho chiari in testa. Col fatto che dobbiamo fare algebra e geometria entro il semestre, il professore non ha il tempo di fare esercitazioni, se non qualche esercizietto banale, quindi il grosso tocca a noi! Ringrazio in anticipo per l'aiuto!!!
Risposte
Dai ragazzi nessuno sa rispondere? Se non sapete rispondere voi non so più a chi rivolgermi!
Ho spostato il thread nella sezione Matematica Discreta, forse li posso riceve più aiuto!
Ti ringrazio molto per la risposta, devo solo esercitarmi moltissimo! Inoltre mi scuso con tutto lo staff del forum per aver postato due volte, purtroppo non lo sapevo! Ero solo alla ricerca di aiuto! Grazie mille comunque! Però avrei una domanda, così ridotta la matrice ha $rkA=2$ per $h!=1$, altrimenti ha $rkA=1$, giusto o sbaglio? Ma allora non si potranno avere i casi $rkA=3$ e $rkA=4$?
Ok tutto chiaro, ti ringrazio vivamente per le delucidazioni!
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