Problema degli autovalori

[5mrkv]

Quando si scrive
\[
\begin{split}
Ax&=\lambda x\\
Ax&=\lambda I x\\
Ax-\lambda I x&=0\\
(A-\lambda I)x&=0
\end{split}
\]
Di quali proprietà si fa uso? Della linearità e della proprietà distributiva del prodotto fra matrici?
\[
\begin{split}
[A][x]&=[\lambda x]=\lambda [x]\\
[A][x]&=[\lambda I][x]\\
[A][x]-[\lambda I][ x]&=0\\
([A]-[\lambda I])[x]&=0
\end{split}
\]E' questa la corretta interpretazione? Perché non capisco se anche
\[
\begin{split}
Ax&=\lambda x\\
Ax-\lambda x&=0\\
(A-\lambda )x&=0
\end{split}
\]Ha senso. Quella $I$ serve a rendere l'endomorfismo sotto forma matriciale? O semplicemente nell'ulimo passaggio non posso raccogliere?

[Lorin1]

Non ho capito cosa vuoi dire, puoi essere più preciso!?
La $I$ in algebra lineare di solito indica la matrice identica...

[5mrkv]

Elencami le proprietà che vengono usate in ogni passaggio. In più,
\[
\begin{split}
Ax&=\lambda x\\
Ax-\lambda x&=0\\
(A-\lambda )x&=0
\end{split}
\]
E' lecito?

[_prime_number]

Se $\lambda$ è uno scalare e $A$ una matrice quadrata, la scrittura $A-\lambda$ indica più precisamente $A-\lambda I$. La $I$, indicante la matrice identica dello stesso ordine di $A$, viene semplicemente sottointesa.
I passaggi da te postati sottointendono prima di tutto che $x=I x$ per ogni vettore $x$ (di dimensioni appropriate, sottointendo). Oltre a ciò, viene usata la proprietà distributiva $Ax + Bx = (A+B) x$ del prodotto matrice per vettore.

Paola

[5mrkv]

Perfetto!