Problema controimmagine di una applicazione lineare
Ciao a tutti: ho dei dubbi riguardo questo esercizio:
Si consideri l'applicazione lineare $f$$:RR_3[x]->M_2(RR)$ t.c. $f(p)=$$((p(1),p(0)),(p(0),p(-1)))$ $AA p in RR_3[x]$ e si ponga $A:=$$((2,0),(0,2))$
a) si determinino una base del $ker$$ f$ ed una base del $Im$$f$
e qui dopo vari conti $x^3-x$ risulta essere base del $ker$$f$ mentre $((1,0),(0,-1))$, $((1,0),(0,1))$, $((0,1),(1,0))$ è base per $Im$$f$
b) si calcoli la $dim$ $f^-1(W)$ dove $W=$
ora l'ho risolto.
Ma mi chiedevo se potevo risolverlo anche così:
considero $f^-1:W->RR_3[x]$ e sia $B=((2,0),(0,2))$ una base per $W$
e $B_c$ base canonica di $RR_3[X]$
ora considerata la M=matrice dell'applicazione lineare associata alle basi $B$ e $B_c$ si ha che la dimesione di $f^-1$=$rg(M)$
è giusta anche questa risoluzione?
Grazie mille!
Si consideri l'applicazione lineare $f$$:RR_3[x]->M_2(RR)$ t.c. $f(p)=$$((p(1),p(0)),(p(0),p(-1)))$ $AA p in RR_3[x]$ e si ponga $A:=$$((2,0),(0,2))$
a) si determinino una base del $ker$$ f$ ed una base del $Im$$f$
e qui dopo vari conti $x^3-x$ risulta essere base del $ker$$f$ mentre $((1,0),(0,-1))$, $((1,0),(0,1))$, $((0,1),(1,0))$ è base per $Im$$f$
b) si calcoli la $dim$ $f^-1(W)$ dove $W=$
ora l'ho risolto.
Ma mi chiedevo se potevo risolverlo anche così:
considero $f^-1:W->RR_3[x]$ e sia $B=((2,0),(0,2))$ una base per $W$
e $B_c$ base canonica di $RR_3[X]$
ora considerata la M=matrice dell'applicazione lineare associata alle basi $B$ e $B_c$ si ha che la dimesione di $f^-1$=$rg(M)$
è giusta anche questa risoluzione?
Grazie mille!
Risposte
"mistake89":
Ciao a tutti: ho dei dubbi riguardo questo esercizio:
Si consideri l'applicazione lineare $f$$:RR_3[x]->M_2(RR)$ t.c. $f(p)=$$((p(1),p(0)),(p(0),p(-1)))$ $AA p in RR_3[x]$ e si ponga $A:=$((2,0),(0,2))$
b) si calcoli la $dim$ $f^-1(W)$ dove $W=$
In pratica devi trovare quei polinomi di grado $<= 3$ tali che si annullano in $x=0$ e hanno la stessa
immagine per $x=1$ e $x=-1$.
Si trova che i polinomi che soddisfano le richieste sono quelli della forma
$p(x) = a x^3 + b x^2 - a x$ .
"mistake89":
Ma mi chiedevo se potevo risolverlo anche così:
considero $f^-1:W->RR_3[x]$ e sia $B=((2,0),(0,2))$ una base per $W$
e $B_c$ base canonica di $RR_3[X]$
ora considerata la M=matrice dell'applicazione lineare associata alle basi $B$ e $B_c$ si ha che la dimesione di $f^-1$=$rg(M)$
è giusta anche questa risoluzione?
Grazie mille!
Il problema è che non puoi considerare $f^-1$, semplicemente perchè $f$ non è ingettiva (il nucleo di $f$ è non banale)!
Quindi in che senso associ ad una matrice $X$ in $W$ associ un polinomio $p\in RR_3[x]$ tale che $f(p)=X$? Sebbene il polinomio $p$ esista (perchè $W\subset Im\ f$), esso non è unico perchè appunto $ker\ f\ne\{0\}$. Cioè $f^-1$ non è una funzione!
Attenzione a cosa intendi per $f^-1(W)$. Si tratta di un insieme e non dell'immagine di $W$ mediante la funzione $f^-1$. In questo caso $f^-1$ non esiste!
grazie mille, ho capito perfettamente l'errore!
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