Problema coniche
Determinare tutte le coniche passanti per il punto p(1,1) e ivi tangenti alla retta di
equazione x=1. Determinare se fra tale coniche vi sono circonferenze.
Come faccio a determinarmi il fascio di tutte le coniche tangenti al punto p??
grazie dell'aiuto
equazione x=1. Determinare se fra tale coniche vi sono circonferenze.
Come faccio a determinarmi il fascio di tutte le coniche tangenti al punto p??
grazie dell'aiuto
Risposte
Faccio un po' di difficoltà perché ho studiato queste cose molti anni fa. Provo comunque ad aiutarti, sperando di non indurti in errore. Spero che, eventualmene, qualcuno mi correggerà.
Parti dall'equazione della conica scritta come: XtAX=0
Tu imponi le due condizioni che hai, cioé:
1) che passa per il punto (1,1) che in coordinate omogenee puoi scrivere come X'=(1,1,1); questo si esprime con la condizione: X'tAX'=0;
2) che la conica sia tangente al punto X', e cioé che la equazione della retta tangente alla conica in X', di equazione X'tAX=0, coincida con l'equazione X1-X3=0 che è l'equazione della retta x=1 scritta in coordinate omogenee. Questa condizione la esprimi uguagliando i coefficienti delle due equazioni. Ottieni quindi tre equazioni.
In tutto hai quattro equazioni per sei coefficienti incogniti, quindi oo^2 soluzioni, cui corrispondono oo^1 coniche.
Parti dall'equazione della conica scritta come: XtAX=0
Tu imponi le due condizioni che hai, cioé:
1) che passa per il punto (1,1) che in coordinate omogenee puoi scrivere come X'=(1,1,1); questo si esprime con la condizione: X'tAX'=0;
2) che la conica sia tangente al punto X', e cioé che la equazione della retta tangente alla conica in X', di equazione X'tAX=0, coincida con l'equazione X1-X3=0 che è l'equazione della retta x=1 scritta in coordinate omogenee. Questa condizione la esprimi uguagliando i coefficienti delle due equazioni. Ottieni quindi tre equazioni.
In tutto hai quattro equazioni per sei coefficienti incogniti, quindi oo^2 soluzioni, cui corrispondono oo^1 coniche.
Scusa Kinder, nella risposta hai detto che troviamo 6 incognite.....
X,t,A,X1,X3 la sesta quale è?
X,t,A,X1,X3 la sesta quale è?
le incognite sono i sei elementi della matrice A, che è una matrice 3x3 simmetrica.
scusami brssfn76
ma riflettendo meglio capisco che non conosci il simbolismo che ho utilizzato, di tipo matriciale. Quindi dovrei rispiegarti tutto facendone a meno.
Mi dici in che forma conosci l'equazione di una conica?
ma riflettendo meglio capisco che non conosci il simbolismo che ho utilizzato, di tipo matriciale. Quindi dovrei rispiegarti tutto facendone a meno.
Mi dici in che forma conosci l'equazione di una conica?
Dunque al corso di geometria ci hanno insegnato la forma generica
del tipo $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ nonche la stessa in coordinate omogenee.
Tieni presente che quest'anno il programma didattico è stato abbastanza cambiato
nella sequenza, o meglio non tutto quello che si dovrebbe sapere ci è stato insegnato.
Per le coniche e le quadriche ad esempio ci è stato detto come ridurle in forma
canonica senza l'utilizzo di autovettori, basi ortonormali e matrici simmetriche.
Poco ci è stato detto sulla matrice del determinante ma quanto basta per
capire se è degenere o no e su che tipo di conica perviene.
Tuttavia come libro sulle matrici ho Apostol, quindi se scrivi qualcosa che non ho
ancora studiato penso di potermela cavare.......
del tipo $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ nonche la stessa in coordinate omogenee.
Tieni presente che quest'anno il programma didattico è stato abbastanza cambiato
nella sequenza, o meglio non tutto quello che si dovrebbe sapere ci è stato insegnato.
Per le coniche e le quadriche ad esempio ci è stato detto come ridurle in forma
canonica senza l'utilizzo di autovettori, basi ortonormali e matrici simmetriche.
Poco ci è stato detto sulla matrice del determinante ma quanto basta per
capire se è degenere o no e su che tipo di conica perviene.
Tuttavia come libro sulle matrici ho Apostol, quindi se scrivi qualcosa che non ho
ancora studiato penso di potermela cavare.......
Si puo' procedere in maniera piu' elementare al seguente modo.
Intanto e' chiaro che del fascio di coniche fanno parte infinite circonferenze.
Precisamente tutte quelle passanti per P(1,1) ed aventi il centro in un punto
qualsiasi della retta per P e perpendicolare alla retta x=1.Tale retta ha equazione
y= 1 ed il suo generico punto e' (k,1) con k qualunque.
Per avere il fascio di coniche possiamo scegliere ,come componenti del fascio
medesimo,due di queste circonferenze:ad esempio la retta tangente
x-1=0 contata due volte e la circonferenza di centro C(2,1) e raggio $bar(CP)=1$
di equazione $(x-2)^2+(y-1)^2=1$.
Ne segue che il fascio richiesto ha equazione:
$lambda(x-1)^2+mu[(x-2)^2+(y-1)^2-1]=0$
Preciso pero' che questo non e' l'unico modo per individuare il fascio e che i dati
del problema in realta' non individuerebbero un fascio ma piuttosto una rete di
coniche,dipendenti cioe' da 3 parametri invece che da 2.Il terzo parametro e' k
che si puo' scegliere a piacere.
karl
Intanto e' chiaro che del fascio di coniche fanno parte infinite circonferenze.
Precisamente tutte quelle passanti per P(1,1) ed aventi il centro in un punto
qualsiasi della retta per P e perpendicolare alla retta x=1.Tale retta ha equazione
y= 1 ed il suo generico punto e' (k,1) con k qualunque.
Per avere il fascio di coniche possiamo scegliere ,come componenti del fascio
medesimo,due di queste circonferenze:ad esempio la retta tangente
x-1=0 contata due volte e la circonferenza di centro C(2,1) e raggio $bar(CP)=1$
di equazione $(x-2)^2+(y-1)^2=1$.
Ne segue che il fascio richiesto ha equazione:
$lambda(x-1)^2+mu[(x-2)^2+(y-1)^2-1]=0$
Preciso pero' che questo non e' l'unico modo per individuare il fascio e che i dati
del problema in realta' non individuerebbero un fascio ma piuttosto una rete di
coniche,dipendenti cioe' da 3 parametri invece che da 2.Il terzo parametro e' k
che si puo' scegliere a piacere.
karl
Ancora una cosa Karl... se volessi scrivere la rete di coniche generica al variare
di k mi basterebbe sostituire al valore 2 della espressione con K e raggio $(k-1)^2$???
in pratica avrei $lambda(x-1)^2 + mu[(x-k)(y-1)-(k-1)^2]=0$ giusto???
per k=1 otterrei un punto
di k mi basterebbe sostituire al valore 2 della espressione con K e raggio $(k-1)^2$???
in pratica avrei $lambda(x-1)^2 + mu[(x-k)(y-1)-(k-1)^2]=0$ giusto???
per k=1 otterrei un punto
Va bene anche come dici te,solo che
il fascio andrebbe scritto cosi':
$lambda(x-1)^2+mu[(x-k)^2+(y-1)^2-(k-1)^2]=0$.
Per k=1 la seconda circonferenza diventa di raggio nullo e si riduce al suo centro P.
Eventualmente si puo' prendere come seconda componente
del fascio,non una circonferenza,ma la conica degenere $(x-k)(y-1)=0$
ed in tal modo l'equazione della "rete" diventa:
$lambda(x-1)^2+mu(x-k)(y-1)=0$
Per k=1 quest'ultima equazione si riduce ad un fascio
di coniche tutte degeneri .
Insomma ,proprio per l'arbitrarieta' dei dati,c'e' un'ampia scelta.
karl
il fascio andrebbe scritto cosi':
$lambda(x-1)^2+mu[(x-k)^2+(y-1)^2-(k-1)^2]=0$.
Per k=1 la seconda circonferenza diventa di raggio nullo e si riduce al suo centro P.
Eventualmente si puo' prendere come seconda componente
del fascio,non una circonferenza,ma la conica degenere $(x-k)(y-1)=0$
ed in tal modo l'equazione della "rete" diventa:
$lambda(x-1)^2+mu(x-k)(y-1)=0$
Per k=1 quest'ultima equazione si riduce ad un fascio
di coniche tutte degeneri .
Insomma ,proprio per l'arbitrarieta' dei dati,c'e' un'ampia scelta.
karl
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