Problema con uno span.
Buongiorno,
ho il seguente dubbio,
siano $mathbb{R^3}=V$, ed $v_1=(3,1,0),v_2=(-1,-1,0),v_3=(1,0,0)$ appartente a $V$, inoltre, considero i sistemi di vettori $A={v_1,v_2}$ e $B={v_1,v_2,v_3}$.
Devo dimostrare che lo $Span(A)=Span(B)$.
Procedo cosi: dimostro prima che un vettore del sistema è combinazione lineare dei rimanenti, in particolare, i vettori $v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti, quindi, deve risultare che $v_3=av_1+bv_2$, cioè, $a=b=1/2.$
Ora mi chiedo, per dimostrare che sono uguali i due span, basta quindi determinare i due coefficienti $a,b$, oppure, una volta stabilito che un vettore è combinazione lineare dei rimanenti, impongo la seguente relazione
Ciao
ho il seguente dubbio,
siano $mathbb{R^3}=V$, ed $v_1=(3,1,0),v_2=(-1,-1,0),v_3=(1,0,0)$ appartente a $V$, inoltre, considero i sistemi di vettori $A={v_1,v_2}$ e $B={v_1,v_2,v_3}$.
Devo dimostrare che lo $Span(A)=Span(B)$.
Procedo cosi: dimostro prima che un vettore del sistema è combinazione lineare dei rimanenti, in particolare, i vettori $v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti, quindi, deve risultare che $v_3=av_1+bv_2$, cioè, $a=b=1/2.$
Ora mi chiedo, per dimostrare che sono uguali i due span, basta quindi determinare i due coefficienti $a,b$, oppure, una volta stabilito che un vettore è combinazione lineare dei rimanenti, impongo la seguente relazione
$a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=b_1v_1+b_2v_2$
Ciao
Risposte
A e B condividono due generatori, quindi basta dimostrare che $v_3$ è lin. dip. dagli altri 2.
Quindi $v_3$ si trova nello span degli altri 2, quindi span(A)=span(B)
Quindi $v_3$ si trova nello span degli altri 2, quindi span(A)=span(B)
Ciao Bokonon,
grazie per la risposta,questo mi è chiaro, il mio dubbio è un altro, è colpa mia che non mi sono espresso bene.
Sul libro ci sono due esempi inerenti allo span, il primo fa vedere lo span dei vettori $v_1, v_2$, cioè, l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari,invece,per il secondo esempio, considera lo span dei tre vettori $v_1,v_2,v_3$, dopodichè c'è un passaggio che non mi è chiaro, in particolare:
\(\displaystyle span(B)=span(v_1,v_2,v_3)={\begin{vmatrix} 3x-y+z \\ x-y \\ 0 \end{vmatrix} }\) con $x,y,z \in \mathbb{R}$.
Questo è il passaggio che non mi è chiaro ponendo $b_1=(x+z/3)$ e $b_2=(y+z/3)$ otteniamo
\(\displaystyle {\begin{vmatrix} 3x-y+z \\ x-y \\ 0 \end{vmatrix} } = b_1{\begin{vmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} }+b_2{\begin{vmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{vmatrix} }\)
per cui lo $span(B)=span(A)$.
Per questo ho detto
Non lo sò se sono stato molto chiaro.
grazie per la risposta,questo mi è chiaro, il mio dubbio è un altro, è colpa mia che non mi sono espresso bene.
Sul libro ci sono due esempi inerenti allo span, il primo fa vedere lo span dei vettori $v_1, v_2$, cioè, l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari,invece,per il secondo esempio, considera lo span dei tre vettori $v_1,v_2,v_3$, dopodichè c'è un passaggio che non mi è chiaro, in particolare:
\(\displaystyle span(B)=span(v_1,v_2,v_3)={\begin{vmatrix} 3x-y+z \\ x-y \\ 0 \end{vmatrix} }\) con $x,y,z \in \mathbb{R}$.
Questo è il passaggio che non mi è chiaro ponendo $b_1=(x+z/3)$ e $b_2=(y+z/3)$ otteniamo
\(\displaystyle {\begin{vmatrix} 3x-y+z \\ x-y \\ 0 \end{vmatrix} } = b_1{\begin{vmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} }+b_2{\begin{vmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{vmatrix} }\)
per cui lo $span(B)=span(A)$.
Per questo ho detto
"galles90":
oppure, una volta stabilito che un vettore è combinazione lineare dei rimanenti, impongo la seguente relazione$ a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=b_1v_1+b_2v_2 $
Non lo sò se sono stato molto chiaro.
Bah, ha solo usato x,y,z al posto di $ a( ( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) +b( ( -1 ),( -1 ),( 0 ) ) +c( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e poi ha fatto in modo di raccogliere gli scalari in nuovi scalari per ottenere il risultato (anche se immagino abbia scritto $z/2$ e non $z/3$)
Un modo involuto per fare una cosa che potevi dimostrare anche tu in modo ancora più semplice usando gauss-jordan.
Comunque meglio la tua dimostrazione.
e poi ha fatto in modo di raccogliere gli scalari in nuovi scalari per ottenere il risultato (anche se immagino abbia scritto $z/2$ e non $z/3$)
Un modo involuto per fare una cosa che potevi dimostrare anche tu in modo ancora più semplice usando gauss-jordan.
Comunque meglio la tua dimostrazione.
"Bokonon":
Bah, ha solo usato x,y,z al posto di $ a( ( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) +b( ( -1 ),( -1 ),( 0 ) ) +c( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e poi ha fatto in modo di raccogliere gli scalari in nuovi scalari per ottenere il risultato (anche se immagino abbia scritto $ z/2 $ e non $ z/3 $)
si grazie, comunque è $z/2$ non $z/3$ mi sono sbagliato.
"Bokonon":Grazie
Comunque meglio la tua dimostrazione.
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